Интегро-дифференциальное Уравнение

- уравнение, содержащее неизвестную функцию под знаками дифференциальных и интегральных операций. И.-д. У. Включают и интегральные и дифференциальные уравнения. Линейные И.-д. У. Пусть f(x) - заданная функция, - дифференциальные выражения с достаточно гладкими коэффициентами pi(x)и qi(y)на [ а, b], a K(x, у)- известная функция, достаточно гладкая в квадрате [а, b][ а, b]. Уравнение вида наз. Линейным И.-д. У. Здесь X- параметр. Если в И.-д. У. (1) функция при у>х, то уравнение (1) наз. И.-д. У. С переменным пределом интегрирования. Его можно записать в форме. Для И.-д. У. (1) или (2) можно ставить задачу Коши (ищется решение, удовлетворяющее условиям U(i)a=ci, i=0, 1,. ., l-1, где с i - заданные числа, l- порядок выражения Lx[U], а и различные граничные задачи (напр., задачу о периодических решениях).

В ряде случаев (см. [3] - [4]) задачи для (1) или (2) можно упростить или даже свести соответственно к интегральным уравнениям Фредгольма 2-го рода или уравнениям Вольтерра. Вместе с тем для И.-д. ,у. Возможен ряд специфич. Явлений, не характерных ни для дифференциальных, ни для интегральных уравнений. Простейшее нелинейное И.-д. У. Имеет вид. К исследованию этого уравнения применимы метод сжатых изображений, принцип Шаудера и другие методы нелинейного анализа. Для И.-д. У. Изучаются вопросы устойчивости решений, разложения по собственным функциям, асимптотика по малому параметру и др. В приложениях встречаются также И.-д. У. С частными производными и с кратными интегралами. Таковы, напр., уравнение Больцмана, уравнение Колмогорова - Феллера.

Лит.:[1] Volterra V., Leсons sur les equations integrales et les equations integrodifferentielles, P., 1913. [2] его же, Математическая теория борьбы за существование, пер. С франц., М., 1976. [3] Быков Я. В., О некоторых задачах теории интегро-дифференциальных уравнений, Фр., 1957. [4] Вайнберг М. М., в кн. Итоги науки. Математический анализ. Теория вероятностей. Регулирование. 1962, М., 1964, с. 5-37. [5] Филатов А. Н., Асимптотические методы в теории дифференциальных и интегро-дифференциальных уравнений, Таш., 1974. В. А. Треногий..