Инъективный Модуль

- инъективный объект в категории модулей над кольцом R, т. Е. Такой R-модуль Енад ассоциативным кольцом R с единицей, что для любых R-модулей М, N, для любого мономорфизма i. И для любого гомоморфизма f. Найдется такой гомоморфизм g:что диаграмма коммутативна (все R-модули предполагаются правыми). Следующие условия на R-модуль Еравносильны его инъективности. 1) для любой точной последовательности индуцированная последовательность точна. 2) любая точная последовательность R-модулей, имеющая вид расщепляется, т. Е. Подмодуль Im a=Кеr (5 выделяется в Мпрямым слагаемом. 3) для всех R-модулей С. 4) для сякого правого идеала I кольца R любой гомоморфизм R-модулей f. Может быть продолжен до гомоморфизма R-модулей g. (критерий Бэра).

В категории R-модулей "достаточно много" инъективных объектов. Каждый R-модуль Мможно вложить в И. М. Более того, каждый модуль Мсодержится в своей инъективной оболочке Е(М), то есть в И. М. Е(М), каждый ненулевой подмодуль к-рого имеет ненулевое пересечение с М. Любое вложение модуля Мв И. М. Епродолжается до вложения инъективной оболочки Е(М)в Е. Каждый R-модуль Мобладает инъективной резольвентой т. Е. Точной последовательностью модулей, в к-рой все модули Ei,. Инъективны. Длина самой короткой инъективной резольвенты наз. Инъективной размерностью модуля (см. Также Гомологическая размерность). Прямое произведение И. М. Есть И. М. Инъективный модуль Еравен Е r для любого элемента не являющегося левым делителем нуля в R, т. Е.

И. М.- делимый модуль. В частности, абелева группа является И.