Модули Римановой Поверхности

- числен ные характеристики (параметры), одни и те же для всех конформно эквивалентных римановых поверхностей, в своей совокупности характеризующие конформный класс эквивалентности данной римановой поверхности. При этом две римановы поверхности R1 и R2 наз. Конформно эквивалентными, если существует конформное отображение R1 на R2. Напр., конформные классы компактных римановых поверхностей топологии, рода g>l характеризуются 6g-6 действительными М. Р. П. Риманова поверхность типа тора (g=l) характеризуется двумя модулями. "-связная плоская область, рассматриваемая как риманова поверхность с краем, при характеризуется Зп- 6 модулями. О структуре пространства М. Р. П. См. Римановых поверхностей конформные классы.

Необходимым условием конформной эквивалентности двух плоских областей является одинаковая связность этих областей. Согласно Римана теореме все односвязные области с более чем одной граничной точкой конформно эквивалентны друг другу. Каждую такую область можно конформно отобразить на одну и ту же канонич. Область, в качестве к-рой обычно рассматривают единичный круг. Для областей связности , точного эквивалента теоремы Римана не существует. Нельзя указать какую-либо фиксированную область, на к-рую можно однолистно и конформно отобразить все области данного порядка связности. Это привело к более гибкому определению канонич. N-связной области, к-рое указывает общую геометрпч. Структуру этой области, но не фиксирует ее модулей (см.

Конформное отображение). Каждая двусвязная область Dплоскости z с невырожденными граничными континуумами может быть конформно отображена на нек-рое круговое кольцо , . Отношение R/r радиусов граничных окружностей этого кольца является конформным инвариантом и наз. Модулем двусвязной области D. Пусть D- область связности , с невырожденной границей. Область Dможно конформно отобразить на нек-рую n-связную круговую область , представляющую собой круговое кольцо с п-2 выброшенными кругами, ограниченными окружностями окружности лежат в кольце и попарно не имеют общих точек. При этом можно считать, что R = 1 и w1>0. Тогда область зависит от действительных параметров. От п-1 чисел и от действительных параметров, определяющих центры окружностей , .

Эти действительных параметров и являются модулями и-с вязной области Dв случае В качестве модулей n-связной области Dможно взять и другие действительных параметров ( если , и , если ), определяющих конформное отображение области Dна нек-рую канонич. N-связную область другого вида. Лит.:[1] Спрингер Дж., Введение в теорию римановых поверхностей, пер. С англ., М., 1960, с. 74, 325. [2] Берс Л., "Успехи матем. Наук", 1973, т. 28, в. 4, с. 153-98. [3] Голузин Г. М., Геометрическая теория функций комплексного переменного, 2 изд., М., 1966. [4] Курант Р., Принцип Дирихле, конформные отображения и минимальные поверхности, пер. С англ., М., 1953. Г. В. Кузьмина, Е. Д. Соломенцев..