Нелинейные Колебания

- колебания в физич. Системах, описываемые нелинейными системами обыкновенных дифференциальных уравнений где содержит члены не ниже 2-й степени по компонентам вектора - вектор-функция времени - малый параметр (либо и ). Возможные обобщения связаны с рассмотрением разрывных систем, воздействий с разрывными характеристиками (напр., типа гистерезиса), запаздывания и случайных воздействий, интегро-дифференциальных и дифференциально-операторных уравнений, колебательных систем с распределенными параметрами, описываемыми дифференциальными уравнениями с частными производными, а также с использованием методов оптимального управления нелинейными колебательными системами. Основные общие задачи Н. К. Отыскание положений равновесия, стационарных режимов, в частности периодич.

Движений, автоколебаний и исследование их устойчивости, проблемы синхронизации и стабилизации Н. К. Все физич. Системы, строго говоря, являются нелинейными. Одна из наиболее характерных особенно--стей Н. К.- это нарушение в них принципа суперпозиции колебаний. Результат каждого из воздействий в присутствии другого оказывается иным, чем в случае отсутствия другого воздействия. Квазилинейные системы - системы (1) при . Основным методом исследования является малого параметра метод. Прежде всего это метод Пуанкаре - Линдштедта определения переодич. Решений квазилинейных систем, аналитических по параметру при его достаточно малых значениях, либо в виде рядов по степеням (см. [1] гл. IX), либо в виде рядов по степеням и - добавок к начальным значениям компонент вектора (см.

[1] гл. III). О дальнейшем развитии этого метода см., напр., в [2] - [4]. Другим из методов малого параметра является метод осреднения. Вместе с тем в исследование квазилинейных систем проникали и новые методы. Асимптотич. Методы (см. [5], [6]), метод К-функций (см. [7]), базирующийся на фундаментальных результатах А. М. Ляпунова - Н. Г. Четаева, и др. Существенно нелинейные системы, в к-рых отсутствует заранее предписываемый малый параметр . Для систем Ляпунова где причем среди собственных чисел -матрицы нет кратных корню - аналитич. Вектор-функция х, разложение к-рой начинается с членов не ниже 2-го порядка, и имеет место аналитический первый интеграл специального вида, А. М. Ляпунов (см. [8] §. 42) предложил метод отыскания периодич.

Решений в виде ряда по степеням произвольной постоянной с(за к-рую может быть принято начальное значение одной из двух крнтич. Переменных либо ). Для систем, близких к системам Ляпунова, где того же вида, что и в (2), - аналитич. Вектор-функция и малого параметра , непрерывная и -периодическая по t, также предложен метод определения периодич. Решений (см. [4] гл. VIII). Системы типа Ляпунова (2), в к-рых матрица имеет lнулевых собственных значений с простыми элементарными делителями, два - чисто мнимых собственных значения и не имеет собственных значений, кратных - такая же, как и в (2), могут быть сведены к системам Ляпунова (см. [9] IV.2). Исследовались также Н. К. В системах Ляпунова и в т. Н. Системах Ляпунова с демпфированием, а также решалась общая задача о перекачке энергии в них (см.

[9] гл. I, III, IV). Пусть существенно нелинейная автономная система приведена к жорданову виду ее линейной части где вектор по предположению имеет хотя бы одну ненулевую компоненту. , равны нулю или единице соответственно при отсутствии пли наличии непростых элементарных делителей матрицы линейной части,- коэффициенты. Множество значений вектора с целочисленными компонентамп таково. Тогда существует нормализующее преобразование. приводящее (3) к нормальной форме дифференциальных уравнений // .