Нётер Проблема

- вопрос о рациональности поля инвариантов конечной группы, действующей автоморфизмами поля рациональных функций. Подробнее, пусть - поле рациональных функций от п переменных с коэффициентами в поле рациональных чисел , т. Е. К- чисто трансцендентное расширение поля степени трансцендентности п. И пусть G- конечная группа, действующая автоморфизмами поля Кпосредством перестановок переменных . Будет ли подполе К G в К, состоящее из всех неподвижных относительно Gэлементов, само полем рациональных функций от п(других) переменных с коэффициентами в . Эта проблема была поставлена Э. Нётер 11] в связи с рассмотрением Галуа теории обратной задачи. В случае положительного решения Н. П. Можно было бы построить расширение Галуа поляс заданной конечной группой Галуа G(см.

[5]). Н. П. Также тесно связана с Люрота проблемой. Н. П. В ебщем случае решается отрицательно. Первый пример нерационального поля К G был построен в [2], причем в этом примере группа Gпорождена циклич. Перестановкой переменных. В [3] было установлено, что необходимое условие рациональности поля К G, найденное в [2], является и достаточным. Вопрос о рациональности поля К G в случае абелевой группы Gтесно связан с теорией алгебраических торов (см. [4]). Часто иод Н. П. Понимают более общую проблему, получающуюся заменой в оригинальной Н. П. Поля произвольным полем k. Эта проблема решена положительно, напр., в случае, когда калгебраически замкнуто, a Gабелева. Лит.:[1]Noether E., "Math. Ann.", 1917/1918, Bd 78, S. 221-2S. [2] Swan R.

G., "Invent, math.", 1969, v. 7, fasc. 2, p. 148. [3] Воскресенский В. E., "Изв. АН СССР. Сер. Матем.", 1971, т. 35, с. 1037. [4] его же, Алгебраические торы, М., 1977. [5] Чеботарев Н. Г., Теория Галуа, М.- Л., 1936, с. 18-32 и 90-94. В. Л. Попов..