Нильпотентная Группа

- полугруппа с нулем, некоторая степень каждого элемента к-рой равна нулю. Н. Составляют один из важнейших классов периодических полугрупп. Это в точности периодич. Полугруппы с единственным идемпотентом, являющимся нулем. Более узкий класс составляют локально нильпотентные полугруппы (л. Н. П., то есть полугруппы, каждая конечно порожденная подполугруппа к-рых нильпотентна, см. Нильпотентная полугруппа). Для любого существует полугруппа с тождеством , не являющаяся л. Н. П. (см., напр., [1]..

- алгебра, для к-рой существует такое натуральное число n, что любое произведение пэлементов алгебры равно нулю. Если при этом существует произведение п-1 элементов, не равное нулю, то пназ. Индексом нильпотентности Н. А. Примерами Н. А. Являются. Алгебры с нулевым умножением, алгебра строго верхнетреугольных матриц, прямые суммы Н. А., индексы нильпотентности к-рых ограничены в совокупности, тензорное произведение двух алгебр, из к-рых одна нильпотентна. Класс Н. А. Замкнут относительно взят..

- полугруппа Sс нулем, для к-рой существует такое п, что . Это эквивалентно выполнению в S тождества Наименьшее для данной полугруппы число пс указанным свойством наз. Ступенью (иногда классом) нильпотентности Н. П. Если , то Sназ. Полугруппой с нулевым умножением. Следующие условия для полугруппы Sэквивалентны. 1) Sесть Н. П., 2) Sобладает конечным анну-ляторным рядом (т. Е. Возрастающим аннуляторным рядом конечной длины, см. Нильполугруппа),3) существует такое к, что любая подполугруппа ..

нильпотент,- элемент акольца или полугруппы с нулем А, удовлетворяющий равенству для нек-рого натурального п. Минимальное значение п, для к-рого справедливо это равенство, наз. Индексом нильпотентности элемента а. Напр., в кольце вычетов по модулю , где р- нек-рое простое число, класс вычетов числа р- нильпотент индекса п, матрица является нильпотентом индекса 2 в кольце -матриц с коэффициентами в нек-ром поле К, в групповой алгебре - поле из рэлементов, a G - циклич. Группа порядка рс..