Нормальное Число

- действительное число , обладающее следующим свойством. Для каждого натурального s любая заданная s-членная скобка состоящая из знаков g-1, появляется в последовательности получающейся при разложении числа в бесконечную g-ичиую дробь с асимптотич. Частотой . Подробнее, пусть g>l - натуральное число и - бесконечная последовательность s-членных скобок, соответствующая последовательности (1). Через обозначается число появлений скобки среди первых пскобок последовательности (2). Число наз. Нормальным, если для любого натурального s и любой заданной s-членной скобки , состоящей из знаков Понятие Н. Ч. Для n=10 было введено Э. Борелем (см. [1], [2] с. 197). Э. Борель называл действительное число слабо нормальным к основанию g, если где .- число появлений знака среди первых пчленов последовательности и называл нормальным, если числа слабо нормальны к основаниям Он установил также, что для Н.

Ч. при любом s и любой заданной s-членной скобке Позднее было показано (см. [3], [4], а также [8]), что выполнимость последнего соотношения эквивалентна борелевскому определению Н. Ч. Число наз. Абсолютно нормальным, если оно нормально по отношению ко всякому натуральному основанию . Существование нормальных и абсолютно Н. Ч. Было установлено Э. Борелем на основе теории меры. Построение Н. Ч. В явном виде впервые было осуществлено в [5]. Ранее (см. [6], [7]) был указан эффективный процесс построения абсолютно Н. Ч. О других способах построения Н. Ч. И о связи понятия Н. Ч. С понятием случайности см. [8]. Равномерное распределение дробных долей , на отрезке [0, 1] эквивалентно тому, что - нормальное число. Лит.:[1] Borel E., "Rend. Circ.

Math. Palermo", 1909, t. 27, p. 247-71. [2] eго же, Lecons sur la theorie des fonctions, 3 ed., P., 1928. [3] Pillai S., "Proc. Indian Acad. Sci. Sec. A", 1940, v. 12, p. 179-84. [4] Niven I., Zuckerrnan H., "Pacific J. Math.", 1951, v. 1, p. 103-09. [5] Сhampernowne D. G., "J. London Math. Soc", 1933, v. 8, p. 254-60. [6] Sierpinski W., "Bull. Soc. Math. Prance", 1917, t. 45, p. 127-32. [7] Lebesque H., там же, р. 132- 44. [8] Постников А. Г., Арифметическое моделирование случайных процессов, М., 1960 ("Тр. Матем. Ин-та АН СССР", т. 57). С. А. Степанов..