Ортогональность

- обобщение понятия перпендикулярности векторов евклидова пространства. Наиболее естественное понятие О. Введено в теории гильбертовых пространств. Два элемента хи уиз гильбертова пространства Нназ. Ортогональными , если их скалярное произведение равно нулю (( х, у).0). Это понятие О. В том частном случае, когда H - евклидово пространство, совпадает с понятием перпендикулярности двух векторов. В терминах этого понятия в любом гильбертовом пространстве верна теорема Пифагора. Если элемент равен конечной или счетной сумме попарно ортогональных элементов (счетная сумма понимается в смысле сходимости ряда в метрике пространства Н), то (см. Парсеваля равенство). Полная счетная система {xi} ортонормировапных векторов сепарабельного гильбертова пространства представляет аналог полной системы попарно ортогональных векторов конечномерного евклидова пространства.

Любой элемент единственным образом представляется в виде суммы , причем с ixi=( х, xi)xi - проекция элемента хна х i. В случае функционального пространства L2[a, b]такую роль играют полные ортонормированные системы функций . Если , то в метрике пространства L2[a, b], где В случае, когда jk(x) - ограниченные функции, коэффициенты ck можно определить для любой интегрируемой функции. При этом представляет интерес вопрос о сходимости соответствующего разложения в том или ином смысле (см. Тригонометрическая система, Хаара система). Поэтому для функций термин "О." употребляется в более широком смысле. Интегрируемые на отрезке [a, b]функции f(x).и g(x).наз. Ортогональными, если (для существования интеграла обычно требуется, чтобы - множество ограниченных функций).

Существуют также определения О. Элементов произвольного действительного нормированного пространства. Одно из них (см. [4]) следующее. Элемент хдействительного нормированного пространства Всчитается ортогональным элементу у, если для любого действительного k. В терминах этого понятия установлены нек-рые необходимые и достаточные условия, при к-рых может быть определено скалярное (внутреннее) произведение элементов пространства В(см. [5], [6]). Лит. [1]Канторович Л. В., Акилов Г. П., Функциональный анализ, 2 изд., М., 1977. [2] Данфорд Н., Шварц Дж., Линейные операторы. Общая теория, пер. С англ., М., 1902. [3] Качмаж С., Штейнгауз Г., Теория ортогональных рядов, пер. С нем., М., 1958. [4] Вirkhоff G., "Duke Math. J.", 1935, v.

L,p. 169-72. [5] James R., "Trans. Amer. Math. Soc.", 1947, v. 61, p. 265-92. [6] его же, "Bull. Amer. Math. Soc.", 1947, v. 53, p. 559-66. А. А. Талалян.