Относительная Система Корней

связной редуктивной алгебраической группы G, определенной над полем k,- система ненулевых весов присоединенного представления максимального k-расщепимого тора Sгруппы G в алгебре Ли g этой группы. Сами веса наз. Корнями G относительно S. О. С. К. , рассматриваемая как подмножество своей линейной оболочки L в пространстве , где X (S) - группа рациональных характеров тора S, является корневой системой. Пусть N(S) - нормализатор, a Z(S).- централизатор Sв G. Тогда Z(S).является связной компонентой единицы группы N(S);конечная группа наз. Группой Вейля группы G над k, или относительной группой Вейля (о. Г. В.). Присоединенное представление N(S) в g определяет линейное представление в L. Это представление является точным и его образ есть Вейля группа системы корней , что позволяет отождествить эти две группы.

Ввиду сопряженности над kмаксимальных k-расщепимых торов в G О. С. К. и о. Г. В. не зависят, с точностью до изоморфизма, от выбора тора Sи часто обозначаются просто и . В случае, когда G расщепима над k, О. С. К. И о. Г. В. Совпадают соответственно с обычной (абсолютной) системой корней и группой Вейля группы G. Пусть g а - весовое относительно Sподпространство в , отвечающее корню . Если G расщепима над k, то для любого а и - приведенная система корней. В общем случае это не так. может быть неприведенной, а может быть больше 1. О. С. К. Неприводима, если G проста над k. О. С. К. Играет важную роль в описании структуры и в классификации полупростых алгебраич. Групп над k. Пусть G - полупроста и Т - максимальный тор, определенный над kи содержащий S.

Пусть X(S).и X(Т) - группы рациональных характеров торов S и Т с фиксированными согласованными отношениями порядка, D -- соответствующая система простых корней группы G относительно и D0- подсистема в D, состоящая из характеров, тривиальных на S. Пусть также Dk-- система простых корней в О. С. К. , определенная выбранным в X(S).отношением порядка. Она состоит из сужений на Sхарактеров системы D. Группа Галуа естественно действует на Д, и набор данных {D, D0, действие Г на D} наз. K- индексом полупростой группы G. Роль k-индекса объясняется следующей теоремой. Всякая полупростая группа над kоднозначно с точностью до k-изоморфизма определяется своим классом относительно изоморфизма над ks, своим k-индексом и своим анизотропным ядром.

О. С. К. полностью определяется системой Dk и набором таких натуральных чисел (равных 1 или 2), что , но . В свою очередь, Dk и п a, , могут быть восстановлены по k-индексу. В частности, два элемента из имеют одно и то же ограничение на Sтогда и только тогда, когда они лежат в одной орбите группы Г. Это определяет-биекцию между Dk и множеством орбит группы Г в Если - соответствующая орбита и D(g) - любая связная компонента в , не все вершины к-poй лежат вD0, то ng есть сумма коэффициентов при корнях в разложении старшего корня системы D(g) по простым корням. Если , то это О. С. К. Естественно отождествляется с системой корней, а о. Г. В.- с группой Вейля соответствующего симметрич. Пространства. Лит.:[1] Титс Ж., "Математика", 1968, т.

12, Я" 2, с. ПО- 143. [2] Борель А., Титс Ж., там же, 1967, т. 11, № 1, с. 43-111. № 2, с. 3-31. [3] Tits J., "Ргос. Of Symposia in pure math.", 1966, v. Ft, p. 33-62 (AMS). В.