Отображение

однозначное - закон, по к-рому каждому элементу нек-рого заданного множества X ставится в соответствие вполне определенный элемент другого заданного множества Y(при этом Xможет совпадать с Y). Такое соотношение между элементами и записывается в виде y=f(x), y=fx или у-у (х). Пишут также и говорит, что отображение f действует из Xв У. Множество X наз. Областью определенияотображения, а множество наз. Множеством значений отображения. Отображение наз. Также отображением множества Xвомножество Y(или на множество Y, если ). Логически понятие "О." совпадает с понятиями функция, оператор, преобразование. Отображение порождает множество Grf=, наз. Графиком отображения. Обратно, множество определяет однозначное О.

Если и только если для всех и существует , притом только один такой, что , тогда Два отображения f и gназ. Равными, если области их определения совпадают и f(x) = g(x) для любого . В этом случае совпадают и области значений этих О. Отображение f на Xназ. Постоянным, если f(x)=а для любого . Сужением отображения на подмножество наз. Отображение j, заданное на множестве Аравенством . Это сужение обозначается fA. Расширением отображения (или продолжением) на множество наз. Отображение F, определенное на E и удовлетворяющее равенству F(x)=f(x).для всех . Если заданы три множества X, Y, Z, на X определено отображение f со значениями в Y, а на Yзадано отображение gсо значениями в Z, то существует отображение hс областью определения X, принимающее значения в Z и определяемое равенством h(x)=g[f(x)].

Это О. Наз. Композицией отображении fи g, а fи gсоответствующим и отображениями, и обозначается g o f, причем порядок записи играет существенную роль (для функций действительного переменного принят термин суперпозиция). Отображение hназ. Также сложным отображением, составленным из внутреннего отображения f и внешнего отображения g. Понятие сложного О. Обобщается на любое конечное число составляющих О. Отображение f, определенное на X и принимающее значения в Y, порождает новое О., заданное на подмножествах множества X и имеющее в качестве значений. Подмножества множества Y. Именно, если , то Множество f(A).наз. Образом множества A. Если положить A={x}, то получится исходное отображение f(x), так что f(А).есть расширение отображения f(х).с множества X на множество всех подмножеств множества X, если отождествлять одноэлементное множество с элементом, его составляющим.

В случае Y=X множество Аваз. Инвариантным подмножеством отображения f, если , а точка хназ. Неподвижным эле ментом отображения f, если f(x)=x. Инвариантные множества и неподвижные элементы играют важную роль при решении функциональных уравнений вида f(х)=а или х-f(x)=a. Каждое отображение порождает О., заданное на подмножествах множества f(X) и имеющее в качестве значений подмножества множества X. Именно, для каждого через f-1(B) обозначается множество , называемое полным прообразом множества В. Если f-1(y) для любого состоит из единственного элемента, то f-1 есть О. Элемента, определенное на f(X), принимающее значения в X и называемое обратным отображением к f. Существование обратного О. Эквивалентно разрешимости уравнения f(х)=у, Если множества X п Yнаделены нек-рыми свойствами, то во множестве F(X, Y).всех О.

На X в Y могут быть выделены содержательные классы. Так, для частично упорядоченных множеств X и Yотображение f наз. Изотопным, если x<у влечет Для комплексных плоскостей X и Y выделяется класс голоморфных О. Для топология, пространств X и Y естественным образом выделяется класс непрерывных О. Этих пространств. Строится развернутая теория дифференцирования отображений. Для О. Скалярного аргумента и, в более общем случае, для О., определенных на пространстве с мерой, может быть введено понятие (сильной или слабой) измеримости и могут быть построены различные интегралы лебеговского типа (напр., Бохнера интеграл, Даниеля интеграл). О. Наз. Многозначным отображением, если нек-рым значениям x соответствуют подмножества , состоящие более чем из одного элемента.

Таковы, напр., многолистные функции комплексного переменного, многозначные О. Топологических пространств и др. Пит.:[1] Бурбаки Н., Теория множеств, пер. С франц., М., 1065. [2]его же, Общая топология. Основные структуры, пер. С франц., 2изд., М., 1968. [3] Келли Д ж. Л., Общая топология, пер. С англ., 2изд., М., 1081. В. И. Соболев.