Отображении Классы

- важнейшие классы непрерывных отображений, рассматриваемые в общей топологии и ее приложениях. К ним относятся. Открытые отображения - такие, что образ любого открытого множества является открытым множеством. Замкнутые отображения - такие, при к-рых образ каждого замкнутого множества замкнут. Бикомпактные отображения - для них прообраз любой точки является бикомпактным множеством. Совершенные отображения - замкнутые бикомпактные отображения. Факторные отображения определяются требованием. Множество в образе открыто в том и только в том случае, если его полный прообраз открыт. Важны также открытые бикомпактные отображения, псевдооткрытые отображения и уплотнения - последние определяются как взаимно однозначные непрерывные отображения на.

Таким образом, при классификации отображений в общей топологии ограничения накладываются либо на поведение (при переходе к образу) открытых или замкнутых множеств, либо на свойства прообразов множеств. Второй подход приводит, в частности, к следующим О. К. Монотонные отображения- те, при к-рых прообраз каждой точки нульмерен. Конечнократные отображения характеризуются конечностью всех прообразов точек. Отображения, при к-рых прообраз каждого бикомпактного множества бикомпактен, наз. K-отображениями. Соединением ограничений первого и второго типа выделяются основные классы непрерывных отображений в общей топологии. Самими определениями О. К. Естественно организуются в нек-рую иерархию, к-рая может быть положена в основу систематич.

Классификации топологич. Пространств [1]. Эта классификация строится как результат решения вопросов следующих двух типов. Дан класс пространств , целесообразность выделения к-рого не вызывает сомнений, и пусть - нек-рый класс отображений из нашей исходной иерархии. Требуется охарактеризовать посредством внутренних топологич. Инвариантов образы пространств из класса при всевозможных отображениях из класса . Вопросы второго типа аналогичны - требуется охарактеризовать прообразы пространств из класса при отображениях из класса . При решении вопросов указанных двух типов получаются совсем не очевидные теоремы общего характера. Напр., пространства с первой аксиомой счет-ности - это в точности образы метрич. Пространств при непрерывных открытых отображениях.

Пространства с равномерной базой и только они - образы метрит. Пространств при открытых бикомпактных отображениях. Пространства Фреше - Урысона характеризуются как псевдооткрытые образы метрич. Пространств, а секвенциальные пространства - это факторпространства метрич. Пространств. Далее, прообразы метрич. Пространств при совершенных отображениях - это в точности паракомпактные перистые пространства, а прообразами полных метрич. Пространств являются паракомпактные пространства, полные но Чеху. Непрерывные образы пространств со счетной, базой - пространства со счетной сетью. При систематич. Следовании указанному пути получается единая взаимная классификация пространств и отображений. Особую роль среди различных классов непрерывных отображений занимает класс, факторных отображений.

Важнейшей особенностью факторных отображений является то, что они могут служить средством для построения новых топологич. Пространств. А именно, если дано отображение f топологич. Пространства X на нек-рое множество Y(напр., если рассматривается естественное отображение p пространства Xна множество всех ялементов нек-рого разбиения этого пространства), то на множестве Yвсегда можно ввести естественную топологию требованием, чтобы отображение f было факторным. Множество объявляется открытым в том и только в том случае, если его полный прообраз f-1(V).открыт в пространстве X. Помимо уже названных, весьма важны неприводимые отображения, напр, в теории абсолютов. См. Также Бифакторное отображение, Многозначное отображение.

Лит.:[1] Архангельский А. В., "Успехи матем. Паук", 19"В, т. 21, в. 4, к.133-84. А. В. Архангельский.