Парсеваля Равенство

- равенство, выражающее квадрат нормы элемента в векторном пространстве со скалярным произведением через квадраты модулей коэффициентов Фурье этого элемента по нек-рой ортогональной системе элементов. Так, если X - нормированное сепарабельное векторное пространство со скалярным произведением - соответствующая ему норма и - ортогональная в Xсистема, , n=1,2,..., то равенством Парсеваля для элемента наз. Равенство (1) где , n=1, 2,...,- коэффициенты Фурье элемента хпо системе . Если эта система ортонормирования, то П. Р. Имеет вид Выполнение П. Р. Для данного элемента является необходимым и достаточным условием того, чтобы ряд Фурье этого элемента по ортогональной системе сходился к самому элементу хпо норме пространства X.

Выполнение П. Р. Для любого элемента является необходимым и достаточным условием для того, чтобы ортогональная система была полной системой в X. Отсюда следует, в частности. Если X - сепарабельное гильбертово пространство и - его ортонормированный базис, то П. Р. По системе выполняется для каждого элемента . Если X- сепарабельное гильбертово пространство, - ортонормированный базис в X, и - коэффициенты Фурье соответственно элементов х и у, то справедливо равенство (2) наз. Обобщенным равенством Парсеваля. В достаточно законченном виде вопрос о полноте систем функций, являющихся собственными функциями дифференциальных операторов, был изучен В. А. Стендовым [1]. П. Р. Обобщается и на случай несепарабельных гильбертовых пространств.

Если нек-рое множество индексов), является полной ортонормированной системой гильбертова пространства X, то для любого элемента справедливо П. Р. причем сумма в правой части равенства понимается как где верхняя грань берется по всевозможным конечным подмножествам множества В случае, когда состоит из действительных функций, квадрат к-рых интегрируем по Лебегу на отрезке , в качестве полной ортогональной системы взята тригонометрич. Система функций и равенство (1) имеет вид и наз. Классическим равенством Парсеваля. Оно было указано М. Парсевалем (М. Parseval, 1805). Если и то равенство, аналогичное формуле (2), выглядит следующим образом. (3) Классы К т К' действительных функций, определенных на отрезке , такие, что для всех и имеет место обобщенное П.

Р. (3), наз. Дополнительными. Примером дополнительных классов являются пространства и Лит.:[1] Стеклов В. А., "Записки физико-математич. Общества", сер. 8, 1904, т. 15, № 7, с. 1-32. [2] Никольский С. М., Курс математического анализа, 2 изд., т. 2, М., 197й. [3] Ильин В. А., Позняк Э. Г., Основы математического анализа, 2 изд., ч. 2, М., 1980. [4] "Бари Н. К., Тригонометрические ряды, М., 1961. [5] Зигмунд А., Тригонометрические ряды, пер. С англ., т. 1, М., 1965. [6] Кириллов А. А., Гвишиани А. Д., Теоремы и задачи функционального анализа, М., 1979. Л. Д. Кудрявцев.