Погружение

многообразия - непрерывное отображение m-мерного многообразия М т в n-мерное многообразие Nn такое, что для каждой точки существует окрестность Ux, для к-рой Fесть вложение, т. Е. Гомеоморфизм на В частности, если Fесть гомеоморфизм на F(Mm), то он наз. Вложением М т в Nn. Погружение F наз. С l,a - погружением, если М т и Nn суть С l,a -гладкие многообразия () и отображение Fв соответствующих картах задается функциями принадлежащими классу гладкости С l,a, а ранг матрицы равен тв каждой точке гладкое многообразие - многообразие, наделенное Г-структурой, где псевдогруппа состоит из lраз дифференцируемых отображений, производные к-рых удовлетворяют условию Гёльдера с показателем a).

К понятию П. И С l,a - гладкого П. Непосредственно примыкают понятия поверхности и С l,a - гладкой поверхности. Погружения Fи Gмногообразия Мв Nназ. Эквивалентными, если существует такой гомеоморфизм , что F=GФ. Погруженным многообразием наз. Пара, состоящая из многообразия Ми его погружения F. M -мерной поверхностьюв n-мерном многообразии Nn наз. Класс эквивалентных погружений . Каждое П. Этого класса наз. Параметризацией поверхности. Поверхность наз. С l,a -гладкой, если на многообразиях Ми Nможно ввести С l,a -структуры и если среди параметризаций поверхности найдется такая параметризация F, к-рая в ятих структурах есть С l,a -погружение. Теория погруженных многообразий, как правило, особенно в тех случаях, когда рассматриваются вопросы, связанные с геометрией П., изучает свойства, инвариантные относительно введенного выше понятия эквивалентности, и по существу совпадает с теорией поверхностей.

Пусть М т есть С l,a -многообразие, Всякое М т допускает при вложение в евклидово пространство и С l,a -погружение в R2m-1 при . Если тположительно и не является степенью двойки, то всякое М т допускает С l,a -вложение в , в то же время при любом m=2s с существуют замкнутые гладкие m-мерные многообразия, не допускающие даже топологич. Вложения в (таково, напр., проективное пространство). Если М т не имеет компактных компонент, то оно допускает С l,a -вложение в Ориентируемое m-мерное многообразие при допускает С l,a -вложение в . Вопрос о возможности погружения m-мерного многообразия в при п<2т-1 связан с классами Уитни и Понтрягина классами этого многообразия. Известно также, что каждое С la -гладкое m-мерное многообразие с допускает собственное (т.

Е. Такое, что прообраз каждого компактного множества компактен) П. В и собственное вложение в . Если на М т задана риманова метрика, то часто рассматривают изометрическое погружение М т в или другое риманово пространство N". С l,a -гладкое риманово многообразие, , допускает С la -гладкое изометрическое П. В нек-рое Rn. В случае компактного М т число n=(2m+l)(6m+14). Наоборот, С la -гладкое П. в индуцирует на М т С l,a -гладкую риманову метрику [4]. Лит.:[1] Смейл С., "Успехи матем. Наук", 1964, т. 19, в. 1, с. 125-38. [2] Jасоbоwitz H., "Ann. Math.", 1972. V. 95, № 2, p. 191 - 225. [3] Рохлин В. А., Фукс Д. Б., Начальный курс топологии. Геометрические главы, М., 1977. [4] Сабитов И. X., Шефель С. 3., "Сиб. Матем. Ж.", 1976, т. 17, №4, с.

914-25. С. 3. Шефелъ.