Почти Симплектическая Структура

невырожденная дифференциальная 2-форма на многообразии. П. С. С. W может существовать только па четномерном многообразии М(dim M=2m).и определяет -структуру , а именно главное расслоение реперов на Мсо структурной группой , состоящее из всех реперов r={ei, fi, i=1, . , т}, для к-рых Необходимое и достаточное условие существования на многообразии МП. С. С. (так же, как и почти комплексной структуры) состоит в возможности редукции структурной группы касательного расслоения к унитарной группе U(т). Для этого, в частности, необходимо обращение в нуль всех нечетномерных классов Штифеля - Уитни многообразия М(см. [1]). Почти комплексная структура J и риманова метрика gна многообразии Мопределяют П. С. С. Wпо формуле где X, Y - векторы, и любая П.

С. С. Может быть получена таким образом. П. С. С. W наз. Интегрируе-мой или, иначе, симплектической структурой, если в окрестности любой точки в нек-рых локальных координатах х i, у i, i=1, . , т, она приводится к виду . Согласно теореме Дарбу для этого необходимо и достаточно, чтобы форма W. Была замкнута. Пример интегрируемой П. С. С. - каноническая симплектич. Структура на кокасательном расслоении Т*М произвольного многообразия М(здесь qi - локальные координаты многообразия М, pi - соответствующие координаты в слое). Примером неинтегрируемой П. С. С. Является левоинвариантная 2-форма на полупростой группе Ли G, получающаяся разнесением левыми сдвигами произвольной невырожденной внешней 2-формы на соответствующей группе Gалгебре Ли.

Так же, как и риманова метрика, П. С. С. Определяет изоморфизм касательных и кокасательных пространств (а тем самым и пространств контравариантных и ковариантных тензоров), а также каноническую 2m-форму объема и ряд операторов в пространстве L(М). Дифференциальных форм. Оператор eW внешнего умножения на W. Оператор iW. Внутреннего умножения на W. Оператор звездочки Ходжа , где оператор iw внутреннего умножения определяется как свертка данной формы с р-вектором, соответствующим р-форме w. Оператор кодифференцирования В отличие от риманова случая оператор оказывается кососимметрич. относительно глобального скалярного произведения в пространстве р -форм на компактном многообразии М. Для произвольной р-формы имеет место разложение Ходжа - Лепажа где - однозначно определенные эффективные (т.

Е. Аннулируемые оператором tW) формы [3]. П. С. С. Наз. Конформно плоской, если существует такая функция l>0, что d(lW)=0. Это эквивалентно представимости формы W в виде. При т=2 необходимым и достаточным условием того, чтобы П. С. С. W была конформно плоской, является замкнутость 1-формы dW=iWdW, а при m>2 - выполнение равенства (см. [1]). Тензор Ттипа (1, 2), соответствующий 3-форме dWи определяемый равенством , где X, Y, Z - векторы, наз. Тензором кручения П. С. С. W. С ним ассоциируется, вообще говоря, вырожденная метрика . С произвольной П. С. С. Связывается класс линейных связностей , аннулирующих форму W и имеющих тензор Тсвоим тензором кручения. Две такие связности отличаются на тензорное поле вида , где Sjkl - произвольное симметрическое тензорное поле.

Рассматриваемые связности взаимно однозначно соответствуют сечениям первого продолжения для -структуры В=, являющегося главным расслоением реперов на Всо структурной группой (векторной группой однородных полиномов третьей степени от 2т переменных). -структура является G-структурой бесконечного типа. Поэтому группа автоморфизмов П. С. С. Может быть бесконечномерной. В частности, группа автоморфизмов симплектич. Структуры всегда бесконечномерна и является k-транзитивнои группой для любого k>0. Лит.:[1] Libermann P., "Bull. Soc. Math. France", 1955, t. 83, p. 195-224. [2] Итоги науки и техники. Алгебра. Топология. Геометрия, т. 11, М., 1974, с. 153-207. [3] Лычагин В. В., "Успехи матем. Наук", 1979, т. 34, М" 1, с. 137- 165. [4] Коbауashi S h., Transformation groups in differential geometry, В.

- [а.