Почтикольцо

- одно из обобщений понятия ассоциативного кольца. П.- это кольцоид над группой, т. Е. Универсальная алгебра, в к-рой имеется ассоциативная операция умножения и операция сложения. Относительно сложения П. Должно быть группой (не обязательно коммутативной), причем должен также выполняться правый закон дистрибутивности. П. Являются также частным случаем мультиоператорных групп. Примерами П. Являются множества MS (Г).всех отображений группы Г в себя, перестановочных с действием фиксированной полугруппы эндоморфизмов Sгруппы Г. Групповые операции в М S (Г) вводятся поточечно, умножением в М S (Т).является композиция отображений. Почтикольцо MS(T) является аналогом кольца матриц. Обычным образом вводятся понятия подпочтикольца, идеала, правого модуля над П.

Пусть N0 (соответственно Nc) - многообразие П., задаваемое тождеством Оx=0 (соответственно Ох=х). Любое почтикольцо Аразлагается в сумму подпочтиколец А=А 0+А с, где , причем =0. Циклический правый А-модуль Мназ. Примитивным типа 0, если Мпрост, примитивным типа 1, если либо хА=0, либо хА=М для любого , и примитивным типа 2, если Мявляется простым A0 -модулем. Почтикольцо Аназ. Примитивным типа v (v=0, 1, 2), если существует точный простой А- модуль Г типа v. При этом возникает плотное вложение почтлкольца А в М S (Г).для нек-рой полугруппы эндоморфизмов Sгруппы Г. Для 2-примитивных почтиколец Ас единицей и условием минимальности для правых идеалов в А 0 имеет место равенство А=М S (Г). (аналог теоремы Веддерберна - Артина).

Для каждого v=0, 1, 2 вводится понятие радикала Джекобсона типа v, обозначаемого Jv(A), он определяется как пересечение аннуляторов v-примитивных A-модулей. Радикал J1/2 (А).определяется как пересечение максимальных правых модулярных идеалов. Все четыре радикала различны, причем Оказывается, что эти радикалы обладают многими свойствами радикала Джекобсона ассоциативных колец (см. [4]). Для П. Справедлив аналог теоремы Оре о почтикольцах частных [4]. Дистрибутивно порожденным почтикольцом наз. П., аддитивная группа к-рого порождается такими элементами х, что (y + z)x=yx + zx для всех у,z из П. Все дистрибутивно порожденные П. Порождают многообразие N0. Для конечных дистрибутивно порожденных П. Понятия 1- и 2-примитивности совпадают.

1-примитивные дистрибутивно порожденные П. Имеют вид M0 (Г) для нек-рой группы Г. В дистрибутивно порожденном П., с тождеством ( ху - ух)n(x,y)= ху - ух, п( х, у)>. 1, умножение коммутативно (см. [3], [4]). Каждое П. Из N0, не содержащее нильпотентных элементов, является подпрямым произведением П. Без делителей нуля [4]. Почтиалгебра Аразлагается в прямую сумму простых П. Тогда и только тогда, когда а) она удовлетворяет условию минимальности для главных идеалов, б) в A нет идеалов с нулевым умножением, в) аннулягор любого минимального идеала максимален [1]. Для П. Получены результаты, аналогичные результатам о строении регулярных колец [2], о почтикольцах частных [5]. П. Имеют приложения к изучению групп подстановок, блок-схем, проективной геометрии [4].

Лит.:[1] Bell H. Е., "Canad. Math. Bull.", 1977, v. 20, .Nil, p. 25-28. [2] Heatherly H. E., "J. Indian Math. Soc.", 1974, v. 38, p. 345-54. [3] Ligh S., ",T. London Math. Soc.", 1975, v. 12, pt. 1, p. 27-31. [4] Pilz G., Near-rings, Amst., 1977. [5] Oswald A., "Proc. Edinburgh Math. Soc.", 1979, v. 22, № 2, p. 77-86. [6] Полин С. В., в кн. Кольца, Новосиб., 1973, с. 41 - 45. В. А. Артамонов.