Произведение

семейства объектов категории - понятие, описывающее на языке морфизмов конструкцию декартова произведения. Пусть - индексированное семейство объектов категории . Объект (вместе с морфизмами ) наз. Произведением семейства объектов , если для всякого семейства морфизмов , существует такой единственный морфизм , что . Морфизмы pi наз. Проекциями произведения. П. Обозначается , или , или A1X...X А n в случае I={1, ..., п}. Морфизм а, входящий в определение П., иногда обозначается или . П. Семейства , определено однозначно с точностью до изоморфизма. Оно ассоциативно и коммутативно. Понятие П. Семейства объектов двойственно понятию копроизведения семейства объектов. Произведением пустого семейства объектов является правый нуль (терминальный объект) категории.

В большинстве категорий структуризованных множеств (категории множеств, групп, топологич. Пространств и т. Д.) понятие П. Семейства объектов совпадает с понятием декартова (прямого) П. Этих объектов. Тем не менее такое совпадение но является обязательным. В категории периодических абелевых групп П. Семейства групп , есть иериодич. Часть декартова П. Этих групп, к-рая в общем случае отличается от самого декартова П. В категориях с нулевыми морфизмами для любого произведения существуют такие однозначно определенные морфизмы , что sipi=lAi, sipi=0 при . Если I конечно, то в абелевой категории p1s1+. .+pnsn=1 и П. Семейства объектов А 1, . .., А п совпадает с их копроизведением. Лит.:[1] Цаленко М. III., Шульгейфер Е. Г., Основы теории категорий, М., 1974.

М. Ш. Цаленко.