Устойчивое Распределение

распределение вероятностей, обладающих свойством, что для любых a1>0, b1, a2>0, b2 имеет место соотношение где a>0 и b - нек-рые постоянные, F - функция распределения У. Р., * - символ операции свертки двух функций распределения. Характеристическая функция У. Р. где d - любое действительное число, и Число наз. Показателем устойчивого распределения. У. Р. С показателем является нормальное распределение, примером У. Р. С показателем служит Коши распределение, У. Р. Является вырожденное распределение на прямой, У. Р.- безгранично делимое распределение, и У. Р. С показателем имеет Леви каноническое представление схарактеристиками - любое действительное число. Для У. Р., за исключением вырожденного распределения, существуют плотности.

Эти плотности бесконечно дифференцируемы, одновершинны и отличны от нуля или на всей прямой, или на полупрямой. Для У. Р. С показателем при выполняются соотношения р(х) - плотность У. Р. Явный вид плотностей У. Р. Известен лишь в немногих случаях. Одной из основных задач теории У. Р. Является описание их притяжения областей. В совокупности У. Р. Выделяется класс строго устойчивых распределений, для к-рых имеет место равенство (1) при b1=b2=b=0. Характеристич. Функции строго У. Р. С показателем даются формулой (2) при d=0. При строго У. Р. Является лишь распределение Копти. Спектрально положительные (отрицательные) У. Р. Характеризуются тем, что в канонич. Представлении Леви Для спектрально положительных У. Р. Существует преобразование Лапласа при где р(х)-плотность спектрально положительного У.

Р. С показателем -действительное число, у многозначных функции выбираются те ветви, для к-рых In s действительный, а при s > 0. У. Р., как безгранично делимому распределению, соответствует однородный случайный процесс с независимыми приращениями. Стохастически непрерывный однородный случайный процесс с независимыми приращениями наз. Устоичивым, если приращение x(1)-х(0)имеет У. Р. Лит.:[1] Гнеденко Б, В., Колмогоров А. Н., Предельные распределения для сумм независимых случайных величин, М.-Л., 1949. [2] Прохоров Ю. В., Розанов Ю. А., Теория вероятностей, 2 изд., М., 1973. [3] Ибрaгимов И. А., Линник Ю. В., Независимые и стационарно связанные величины, М., 1965. [4] Скороход А. В., Случайные процессы с независимыми приращениями, М., 1964.

[5] Золотарёв В. М., Одномерные устойчивые распределения, М., 1983. В. А. Рогозин.