Шрёдингера Уравнение

- основное уравнение квантовой механики, определяющее вместе с соответствующими дополнительными условиями волновую функцию характеризующую состояние и микроскопия, свойства квантовой системы. Для нерелятивистской системы частиц без спина сформулировано Э. Шрёдингером (Е. Schrodinger, 1926). Оно имеет вид где -оператор Гамильтона, образованный по общему правилу. В классич. Функции Гамильтона Н( р, r )импульсы частиц ри их координаты . Заменены на операторы, имеющие, в частности, в координатном (q=r1, . .., rN) и импульсном представлениях соответствующий вид Для заряженных частиц в электромагнитном поле, характеризуемом векторным потенциалом A(t, r), величина . Заменяется на В этих представлениях Ш. У. Представляет собой дифференциальное уравнение с частными производными, напр.

Для частицы в поле U(r) Возможны дискретные представления, в к-рых -функция многокомпонентна, а оператор имеет вид матрицы. Если волновая функция определена в пространстве чисел заполнения, то оператор выражается с помощью определенных комбинаций операторов рождения и уничтожения (представление вторичного квантования). Обобщение Ш. У. На случай нерелятивистской частицы со спином (двухкомпонентная функция наз. Уравнением Паули (1927), на случай релятивистской частицы со спином 1/2 (четырехкомпонентная -функция) - уравнением Дирака (1928), на случай релятивистской бесспиновой частицы уравнением Клейна - Гордона (1926), со спином 1 -функция - вектор) - уравнением Прока (1936) и т. Д. Решение Ш. У. Определяется в классе функций, удовлетворяющих условию нормировки при всех значениях t, где скобки означают интегрирование или суммирование по всем значениям переменных q.

Для нахождения решения необходимо сформулировать начальные и граничные условия, соответствующие характеру рассматриваемой задачи. Наиболее характерные типы таких задач. 1) Стационарное Ш. У. И определение допустимых значений энергии системы. Полагая и требуя в соответствии с условием нормировки и условием отсутствия потоков на бесконечности обращения в нуль волновой функции и ее градиентов при приходят к ypавнению на собственные значения Е п и собственные функции оператора Гамильтона. Характерные примеры точного решения этой проблемы. Собственные функции и уровни энергии для гармонич. Осциллятора, атома водорода и т. Д. 2) Квантовомеханич. Задача рассеяния. Ш. У. Решается с граничными условиями, соответствующими на большом расстоянии от центра рассеяния (описываемого потенциалом U(r))падающей на него плоской и расходящейся от него сферич.

Волнам. С учетом такого граничного условия Ш. У. Можно записать в виде интегрального уравнения, первая итерация к-рого по члену, содержащему U(r), соответствует т. Н. Борновскому приближению. Это уравнение можно представить в виде формального решения, к-рое называют также уравнением Липпмана - Швингера. 3) Случай, когда гамильтониан системы зависит от времени, H=H0( р, r)+U(t, р, r), обычно рассматривается в рамках временной теории возмущений. Это - теория квантовых переходов, определение реакции системы на внешнее возмущение (динамич. Восприимчивость) и характеристик релаксационных процессов. Для решения Ш. У. Обычно используют приближен ные методы, регулярные (различного типа теории возмущений), вариационные и т. Д.

Лит.:[1] Давыдов А. С., Квантовая механика, М., 1973. [2] Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М., Квантовая механика, 3 изд., М., 1974. [3] Соколов А. А., Тернов И. М., Жуковский В. Ч., Квантовая механика, М., 1979. И. А. Квасников.