Экстремальные Свойства Функций

свойства отдельных функций, к-рые выделяют их как решения нек-рых экстремальных задач. Большинство специальных функций, возникших в математич. Анализе могут быть охарактеризованы нек-рым экстремальным свойством. Таковы, напр., экстремальные свойства полинимов:классич. Лагерра многочлены, Лежандра многочлены, Чебышева многочлены, Эрмита многочлены, Якоби многочлены можно охарактеризовать как многочлены, наименее уклоняющиеся от нуля в пространстве L2 с весом. Классич. Полиномы являются обычно решениями разных экстремальных задач, нередко возникающих в отдаленных областях анализа. Так, напр., многочлены Чебышева экстремальны в задаче о неравенстве для производных многочленов (см. [1], Маркова неравенство). То же можно сказать и о др.

Специальных функциях. Многие из них являются собственными функциями для дифференциальных операторов, т. Е. Являются решением нек-рой изопериметрической задачи. При этом, наиболее известные специальные функции так или иначе связаны с наличием нек-рой инвариантной структуры (см. Гармонический анализ абстрактный), когда они являются собственными функциями Лапласа - Бельтрами уравнения, инвариантного относительно сдвигов. Таковы тригонометрич. Полиномы, сферич. Функции, цилиндрич. Функции и др. (см. [2]). Большинство Э. С. Ф. Может быть сформулировано в виде нек-рого точного неравенства. С экстремальными задачами теории приближений связаны Бернштейна неравенство, Бора - Фавара неравенство и др. В частности, неравенство Бора - Фавара отражает экстремальное свойство Бернулли многочленов.

Э. С. Ф. Изучаются в теории приближении (см. [6], [7]), в теории численного интегрирования (см. [8]). Сплайны могут быть охарактеризованы различными экстремальными свойствами (см. [9]). Многие специальные сплайны обладают рядом экстремальных свойств, касающихся аппроксимации и интерполяции классов функций (см. [7], [8]). Многие Э. С. Ф. Изучают в комплексном анализе. В частности, Кебе функция является экстремальной функцией ряда задач теории однолистных функций. См. Также Изoпериметрическое неравенство, Вложения теоремы. Лит.:[1] Бернштейн С. Н., Экстремальные свойства полиномов и наилучшее приближение непрерывных функций одной вещественной переменной, ч. 1, Л.- М., 1937. [2] Виленкин Н. Я., Специальные функции и теория представлении групп, М., 1965.

[3] Харди Г. Г., Литтльвуд Д.