Элемент Аналитической Функции

Совокупность (D, f) области Dна плоскости комплексного переменного и аналитич. Ции f(z), заданной в Dпри помощи нек-рого аналитич. Аппарата, позволяющего эффективно осуществить аналитич. Родолжение f(z) во всю ее область существования как полной аналитической функции. Наиболее простой и чаще всего применяемой формой Э. А. Ф. Является круговой элемент в виде совокупности степенного ряда и его круга сходимости с центром а(центр элемента) и радиусом сходимости R>0. Аналитич. Продолжение здесь достигается (быть может, многократным) переразложением ряда (1) для различных центров по формулам вида Любой из элементов (D, f) полной аналитич. Ции определяет ее однозначно и может быть представлен посредством круговых элементов с центрами В случае бесконечно удаленного центра круговой элемент принимает вид с областью сходимости В процессе аналитич.

Родолжения функция f(z) может оказаться многозначной и могут появиться соответствующие алгебраическим точкам ветвления т. Н. Разветвленные элементы вида где v>l, число v-1 наз. Порядком разветвленности. Разветвленные элементы обобщают понятие Э. А, ф., последние в этой связи наа. Также неразветвленными (при v=l) регулярными элементами. В качестве простейшего элемента (D, f )аналитич. Функции f(z) многих комплексных переменных | можно принять совокупность кратного степенного ряда где a=(al,. ., а n) - центр, и нек-рого поликруга в к-ром ряд (2) абсолютно сходится. Однако, при п> 1 следует иметь в виду, что поликруг не является точной областью абсолютной сходимости степенного ряди. Понятие Э. А. Ф. Весьма близко к понятию ростка аналитич.

Функции. Лит.:[1] Маркушевич А. И., Теория аналитических функций, 2 изд., т. 1-2, М., 1967-68. [2] Владимиров В. С., Методы теории функций многих комплексных переменных, М., 1964. E. Д. Соломенцев.