Логика Высказываний

Или. Пропозициональная логика, — раздел логики, формализующий употребление логичес­ких связок «и», «или», «не», «если, то» и т. П., служащих для образова­ния сложных высказываний из простых. Высказывание называется простым, если оно не включает в себя другие высказывания, в противном случае оно называется с л о ж н ы м. В Л. В. Простые выс­казывания рассматриваются в отвлечении от их внутренней (субъектно-предикатной) структуры. Та или иная истинностная оценка высказывания именуется его истинностным значением. В логике классической предполагается, что простое высказыва­ние является либо истинным, либо ложным (см. Двузначности принцип) и что истинностное значение сложного высказывания зависит только от истинностных значений входящих в него про­стых высказываний и характера их связи.

Так, соединение двух высказываний с помощью связки «и» дает сложное высказывание (именуемое конъюнкцией), являюще­еся истинным, только когда оба составляющие его высказывания истинны. Сложное высказывание, образованное с помощью связ­ки «или» (дизъюнкция), истинно, если и только если хотя бы одно из двух входящих в него высказываний истинно. Сложное выска­зывание, образованное с помощью «не» (отрицания), истинно, если только исходное высказывание ложно. Сложное высказывание, полученное из двух высказываний с помощью связки «если, то» (импликация), истинно в трех случаях. Оба входящие в него выска­зывания истинны, оба они ложны, первое из этих высказываний (следующее за словом «если») ложно, а второе (следующее за сло­вом «то») истинно.

Импликация является ложной только когда первое из составляющих ее высказываний истинно, а второе ложно. Возможны и другие способы образования сложных высказыва­ний. Всего в классической двузначной логике четыре способа об­разования сложного высказывания из одного высказывания и ше­стнадцать способов образования сложного высказывания из двух высказываний. Язык Л. В. Включает бесконечное множество переменных. Р, q, r,..., p1, q1, r1, ..., представляющих высказывания, и особые символы для логических связок . &. — конъюнкция («и»), v - дизъюнкция («или»), ~ - отрицание («не» или «неверно, что»), ->. — имплика­ция («если, то»). Роль знаков препинания обычного языка играют скобки. Понятие формулы в Л. В. Определяется так.

Отдельная переменная является формулой. Если A и В — формулы, то (А&В), (AvB), ~A и (A->B) также формулы. Формулам Л. В., образованным из переменных и связок, в есте­ственном языке соответствуют предложения. Напр., если р есть высказывание «Сейчас ночь», q — высказывание «Сейчас темно» и r — высказывание «Сейчас ветрено», то формула (p->(qvr)) представляет высказывание «Если сейчас ночь, то сейчас темно или ветрено», формула ((q&.r)->p) - высказывание «Если сейчас темно и ветренно, то сейчас ночь», формула (~q->~p) — высказы­вание. «Если неверно, что сейчас темно, то сейчас не ночь» и т. П. Подставляя вместо переменных другие высказывания, получим другие переводы указанных формул на обычный язык.

Каждой формуле Л. В. Можно поставить в соответствие таблицу истинности, указывающую зависимость истинностного значения формулы от истинностных значений входящих в нее переменных. Напр., формула (~q->~p) принимает значение «ложно» только в случае ложности q и истинности р. Формула Л. В. Называется тождественно-истинной, или тавтологией, если и только если она принимает значение «истин­но» при всех распределениях истинностных значений входящих в нее простых высказываний. Формула, принимающая при всех рас­пределениях значение «ложно», называется противоречием. Тавто­логии выражают логические законы. К тавтологиям относятся, в ча­стности, формулы. (р->р) — закон тождества, ~(р&~р) — закон непротиворечия, (pv~p) — закон исключенного третьего, (p->q)->(~q->~p) - закон контрапозиции.

 . Множество тавтологий бесконечно. Л. В. Может быть представлена также в форме логического исчис­ления, в котором задается способ доказательства некоторых выс­казываний (формул), называемых теоремами. Исчисление может быть формализовано с помощью аксиоматического метода. При этом указываются формулы, принимаемые в качестве аксиом, и задаются правила вывода, позволяющие получать из аксиом теоре­мы. Аксиоматическое исчисление высказываний строится таким образом, чтобы класс теорем совпадал с классом тавтологий, т. Е. Чтобы каждая теорема была тавтологией и каждая тавтология — теоремой (см. Полнота). По отношению к аксиоматическому по­строению встают также вопросы о его непротиворечивости и неза­висимости принятых аксиом и правил вывода.

Наряду с классической Л. В., предполагающей, что всякое выс­казывание является истинным или ложным, существуют много­образные неклассические Л. В. В числе последних — многозначные Л. В., интуиционистская Л. В. И др..