Алгебраического Многообразия Автоморфизм

- обратимый морфизм алгебраич. Многообразия (или схемы) в себя. Группа всех А. М. А., обозначаемая обычно ,- важный инвариант многообразия . Изучение действий группы А. М. А. На объектах, функторпально связанных с , таких, как Пикаро. Группа, Чжоу кольцо, К-функтор, группа когомологшт, является средством изучения самих многообразий. Группа А. М. А. Участвует при образовании форм алгебраич. Многообразия. Для полных алгебраич. Многообразий над полем комплексных чисел группа А. М. А. Совпадает с группой биголоморфньгх автоморфизмов. Для ряда простых алгебраич. Многообразий строение группы известно. Напр., если Xпроективное n-мерное пространство над полем k, то любой его автоморфизм является линейным проективным преобразованием и совпадает с проективной линейной группой .

Группа автоморфизмов эллиптич. Кривой и, вообще, любого абелева многообразия является расширением группы автоморфизмов, сохраняющих структуру абелева многообразия, при помощи группы сдвигов на точки многообразия , т. Е. Последовательность групп точна. Если - гладкая полная алгебраич. Кривая рода , то группа конечна. Известна оценка ее порядка в зависимости от (см. Алгебраическая кривая). Об автоморфизмах поверхностей см. Алгебраическая поверхность. Для алгебраич. Многообразий с обильным каноиич. Или антиканонич. Обратимым пучком группа автоморфизмов является алгебраич. Подгруппой группы для нек-рого . Группа автоморфизмов гладкой поверхности размерности н степени конечна [1]. Во всех приведенных выше примерах обладает естественной структурой алгебраич.

Группы, быть может, с бесконечным числом связных компонент. Это верно и в общем случае [2]. Современный подход к изучению группы А. М. А. Состоит в рассмотрении семейств автоморфизмов. Семейством автоморфизмов многообразия со схемой параметров наз. Автоморфизм произведения , перестановочный с проекцией на второй множитель. Множество семейств автоморфизмов со схемой параметров обозначается . Сопоставление является контравариантным функтором от Т. Если многообразие Xполное, то этот функтор представим (см. Представимый функтор).локально алгебраич. Схемой групп с не более чем счетным числом связных компонент [3]. Для проективных многообразий этот факт был доказан А. Гротендиком (A. Grothendieck). Существует обобщение этой теоремы на случай собственных плоских морфизмов схем.

Представляющая схема не обязательно является приведенной, даже в случае, когда X - гладкая проективная поверхность. Однако, если характеристика основного поля равна 0, либо если X - гладкая кривая или гладкая гиперповерхность, то связная компонента единицы этой схемы является многообразием. Для неполных многообразий функтор автоморфизмов не всегда представим в категории схем. Для аффинного многообразия функтор автоморфизмов представим в категории индуктивных пределов схем. Для аффинных пространств, кроме простого случая аффинной прямой, известна только группа автоморфизмов аффинной плоскости. Она является свободным произведением с объединенным пересечением двух своих подгрупп - подгруппы линейных аффинных преобразований и подгруппы треугольных автоморфизмов, т.

Е. Преобразований вида где - произвольный многочлен от х(см. [4], [5]). Об аффинных алгебраич. Поверхностях, на к-рых группа автоморфизмов действует транзитивно, см. [6]. Лит. [1] Мatsumиrа Н., Моnskу P., "J. Math. Kyoto Univ.", 1964, v. 3,p. 347-61. [2]Matsusakа Т., "Amer. J. Math.", 1958, v. 80, ЛГ" 1, p. 45-82. [3] Matsumura Н., Ооrt F., "Invent Math.", 1967, v. 4, № 1, p. 1-25. [4] Engel W., "Math. Ann.", 195S, v. 136, p. 319-25. [5] Shafareviсh I. R., "Rend. Math.", 1966, v. 25, p. 208-12. 16] Гизатуллин М. X., "Изв. АН СССР. Сер. Матем.", 1971, т. 35, Ли 5, с. 1047 - 71. [7] Rоth L., Algebraic threefolds, В.-[ч.