Ветвящийся Процесс С Конечным Числом Типов Частиц

- модель ветвящегося процесса, являющаяся частным случаем марковского процесса со счетным множеством состояний. Состояние ветвящегося процесса описывается случайным вектором k-я компонента к-рого показывает, что в момент tимеется частиц типа . Основное свойство, выделяющее ветвящиеся процессы из марковских, состоит в том, что частицы, существующие в момент , в любой следующий момент дают потомство независимо друг от друга. При этом производящие функции удовлетворяют системе уравнений и начальным условиям Уравнениям (*) удовлетворяют процессы с дискретным и с непрерывным временем. В случае дискретного времени матрица математич. Ожиданий является t- йстепенью матрицы Если матрица Анеразложима и непериодична, то она имеет простое положительное характеристич.

Число , к-рое больше модулей остальных характеристич. Чисел. В этом случае при где - правый и левый собственные векторы матрицы А, соответствующие . Ветвящиеся процессы с неразложимой матрицей Аназ. Д о-критическими, если , надкритическим и, если , и критическими, если и хотя бы одна из функций нелинейна. Для процессов с непрерывным временем понятие критичности вводится аналогично. Асимптотич. Свойства ветвящегося процесса существенно зависят от критичности. Докритич. И критич. Процессы вырождаются с вероятностью 1. Асимптотические при формулы для вероятности и теоремы о предельных распределениях числа частиц [2] аналогичны соответствующим результатам для процессов с одним типом частиц (см. Ветвящийся процесс).

Изучены асимптотич. Свойства процессов, близких к критическим (см. [3]). Изучаются также процессы с разложимой матрицей математич. Ожиданий (см. [4]). Лит.:[1] Колмогоров А. Н., Дмитриев Н. А., "Докл. АН СССР", 1947, т. 56, № 1, с. 7-10. [2] Севастьянов Б. А., Ветвящиеся процессы, М., 1971. [3] Чистяков В. П., "Теории вероят. И ее примен.", 1972, т. 17, № 4, с. 669-78. [4] Оgurа 3.,"J. Math. Kyoto Univ.", ser. A, 1975, V. 15 № 2, p. 251-302. В. П. Чистяков.