Витали Теорема

- 1) В. Т. О покрытии. Если система замкнутых множеств является покрытием Витали (см. Ниже) множества , то из можно выделить не более чем счетную последовательность попарно непересекающихся множеств , i= 1, 2, 3, . , такую, что где т е - внешняя мера Лебега в . Покрытием В и та-ли множества наз. Система подмножеств такая, что для любого хEА существует последовательность из , удовлетворяющая условиями где sup берется по всем I - кубам с гранями, параллельными координатным плоскостям, содержащим , и - внешняя мера Лебега в (этот sup наз. Параметром регулярности ). Теорема была доказана Дж. Витали [1] в случае, когда {F} состоит из кубов с гранями, параллельными координатным плоскостям. Условие, что есть покрытие Витали множества А, а не покрытие в обычном смысле, существенно для справедливости В.

Т. Это условие не может быть опущено, даже если есть система сегментов и каждому соответствует последовательность из с центром в хи диаметрами, стремящимися к нулю. Лит.:[1] Vitali G., "Atti Accad. Sci. Torino", 1908, v. 43, p. 75-92. [2] Сакс С., Теория интеграла, пер. С англ., М., 1949. И. А. Виноградова. 2) В. Т. О равномерной сходимости последовательности голоморфных функций. Пусть последовательность голоморфных функций в области Dкомплексной плоскости z равномерно ограничена и сходится на множестве , обладающем предельной точкой в D;тогда последовательность равномерно сходится внутри D к регулярной функции, т. Е. Равномерно сходится на любом компактном множество . Получена Дж. Витали [1]. Компактности принцип позволяет усилить В.

Т., заменив в ее условии требование равномерной ограниченности в Dтребованием равномерной ограниченности внутри D, т. Е. На любом компактном множестве Имеются также обобщения В. Т. Для нормальных семейств мсроморфных функций, для семейств квазиана-литич. Функций и для семейств голоморфных функций многих комплексных переменных. В последнем случае, однако, на множество необходимо наложить дополнительные ограничения, напр., что Есодержит внутренние точки в С n (см. [3], [4]). Лит.:[1] Vitali G., "Rend, del R. 1st. Lombardo" 2 ser., 1903, v. 36, p. 772. "Ann. Mat. Pura ed appl.", 3 ser., 1904 v. 10, p. 73. [2] Маркушевич А. И., Теория аналитических функций, т. 1, 2 изд., М., 1967, гл. 4. [3] Монтель П. Нормальные семейства аналитических функций, пер.

С франц. М.-Л., 1936. [4] Ганнинг Р., Росси X., Амалити ческие функции многих комплексных переменных, пер. С англ. М., 1969. Е. Д. Соламенцев .