Витта Разложение

векторного пространства - разложение пространства в прямую сумму трех подпространств, обладающих определенными свойствами. Точнее, пусть V - векторное пространство над полем kхарактеристики, отличной от двух, наделенное метрич. Структурой с помощью симметрической или знакопеременной билинейной формы f. Прямое разложение наз. В. Р. Пространства , если и вполне изотропны, a Dнеизотропно и ортогонально относительно f. В. Р. Играет важную роль в изучении структуры формы f и в вопросах классификации билинейных форм. Пусть f - невырожденная билинейная форма и V - конечномерно. Тогда любое максимальное вполне изотропное подпространство в Vможет быть включено в В. Р. Пространства Vв качестве (или ). Для всякого В. Р.

и для любого базиса существует такой базис в , что ( dij- символы Кронекера). Для любых двух В. Р. условие необходимо и достаточно для того, чтобы существовал такой метрич. Автоморфизм пространства V, что Невырожденная билинейная симметрическая или знакопеременная форма f на Vназ. Нейтральной, если Vконечномерно и обладает В. Р. С D= 0. Симметрическая форма в этом случае наз. Гиперболической формой, а V - гиперболическим пространством. Ортогональная прямая сумма нейтральных форм нейтральна. Матрица нейтральной формы (в описанном выше базисе пространства ) имеет вид где - единичная матрица порядка , а =1 для симметрической формы и - 1 для знакопеременной. Нейтральные формы изометричны тогда и только тогда, когда они имеют одинаковый ранг.

Класс нейтральных симметрических билинейных форм является нулем (т. Е. Нейтральным элементом по сложению) в Витта кольце поля k. Нейтральные формы и только они имеют индекс Витта, равный . Знакопеременная форма на конечномерном пространстве нейтральна. Если f - невырожденная симметрическая билинейная форма на конечномерном пространстве и -В. Р., в котором и равно индексу Витта формы f, то сужение f на Dявляется определённой, или анизотропной, билинейной формой, т. Е. Такой, что для любого ненулевого . Эта форма не зависит (с точностью до изометрии) от выбора В. Р. На V. В множестве определенных билинейных форм можно ввести операцию сложения, превращающую его в абелеву группу - группу Витта поля k(см. Витта кольцо).

Пусть - такие базисы в что объединяя эти базисы с произвольным базисом в D, получают базис в V, в к-ром матрица формы f имеет вид Для симметрических билинейных форм существует ортогональный базис в V, т. Е. Такой, в к-ром матрица формы диагональна. Если поле kалгебраически замкнуто, то найдется даже ортонормировании и базис (базис, в к-ром матрица формы является единичной), поэтому невырожденные симметрические билинейные формы конечного ранга над kизометричны тогда и только тогда, когда они имеют одинаковый ранг. В общем случае классификация таких форм существенно зависит от арифметич. Свойств поля k. Изучение и классификация вырожденных симметрических и знакопеременных билинейных форм сводится к изучению невырожденных форм (сужение формы на подпространство, дополнительное к ядру формы).

Все изложенное допускает обобщение на случай е-эрмитовых форм над телом, обладающих свойством (Т).(см. Витта теорема), а также на случай симметрических билинейных форм, ассоциированных с квадратичной формой, без ограничений на характеристику поля. Лит.:[1] Бурбаки Н., Алгебра. Модули, кольца, формы, пер. С франц., М., 1966. [2] Ленг С., Алгебра, пер. С англ., М., 1968. [3] Ар тин Э., Геометрическая алгебра, пер. С англ., М., 1969. [4] Дьедонце Ж., Геометрия классических групп, пер. С франц., М., 1974. В. Л. Попов.