Витта Теорема

всякая изометрня между двумя подпространствами F1 и F2 конечномерного векторного пространства V, определенного над полем kхарактеристики, отличной от двух, и наделенного метрич. Структурой с помощью невырожденной симметрической или кососимметрической билинейной формы f, может быть продолжена до метрич. Автоморфизма всего пространства V. Впервые эта теорема получена Э. Вит-том [1]. В. Т. Может быть доказана и в более широких предположениях на kи f (см. [2], [3]). А именно, утверждение теоремы остается в силе, если k - тело, V - левый конечномерный k-модуль, а f - невырожденная -эрмитова форма (относительно нек-рого фиксированного инволютивного антиавтоморфизма тела k), удовлетворяющая условию. Для всякого найдется такой элемент , что (свойство (Т)).

Свойство (Т).выполняется, напр., когда f - эрмитова форма и характеристика kотлична . От двух, или когда f - знакопеременная форма. В. Т. Справедлива также, если k - поле, а f - симметрическая билинейная форма, ассоциированная с невырожденной квадратичной формой Q на V. Из В. Т. Следует, что группа метрич. Автоморфизмов пространства Vтранзитивно переставляет вполне изотропные подпространства одинаковой размерности и что все максимальные вполне изотропные подпространства в Vимеют одну и ту же размерность (индекс Витта формы f). Другое следствие В. Т. Классы изометрии невырожденных симметрических билинейных форм конечного ранга над kотносительно взятия ортогональной прямой суммы образуют моноид с сокращением. Каноническое отображение этого моноида в его Гротендика группу инъективно.

Группа WG(k) наз. Группой Витта - Гротендика WG(k).поля k;тензорное произведение форм индуцирует на ней структуру кольца, к-рое наз. Кольцом Витта - Гротендика поля k(см. [7]). О других приложениях В. Т. См. Витта разложение, Витта кольцо. Лит.:[l] Witt Е., ". J. Reinc angew. Math. ", 1936, Bd 176, S. 31-44. [2] Бурбаки Н., Алгебра. Модули, кольца, формы, пер. С франц., М., 1966. [31 Дьедонне Ж., Геометрия классических групп, пер. С франц., М., 1974. [4] Ленг С., Алгебра, пер. С англ., М., 1968. [5] Артин Э., Геометрическая алгебра, пер. С англ., М., 1969. [6] Серр Ж.-П., Курс арифметики, пер. С франц., М., 1972. [7] Милнор Д ж., "Математика", 1974, т. 15, в. 4, с. 3-27. В. Л. Попов.