Внешняя И Внутренняя Краевые Задачи

краевые задачи (к. З.) для эллиптич. Уравнений с частными производными соответственно в конечной (внутренней) D+ и бесконечной (внешней) D - областях, на к-рые данная замкнутая гладкая поверхность S, гомеоморфная сфере, разделяет евклидово пространство R.3. Основное отличие внешней к. З. От внутренней состоит в том, что в ней необходимо дополнительно к краевому условию потребовать от решения определенного поведения на бесконечности, обеспечивающего единственность решения и являющегося естественным с точки зрения физического происхождения данной задачи. Напр., в случае внешней к. З. Для уравнения Пуассона (функция f предполагается достаточно гладкой и финитной) достаточно потребовать, чтобы решение и(М).было регулярным на бесконечности, т.

Е. Чтобы В случае внешней к. З. Для уравнения Пуассона в бесконечной плоской области условие регулярности на бесконечности сводится к требованию, чтобы решение и (М).было ограниченным на бесконечности. В случае внешней к. З. Для уравнения Гельмгольца требование регулярности на бесконечности оказывается недостаточным для выделения единственного решения и применяется так наз. излучения условие. Для области в и для причем знаки здесь выбираются в зависимости от условий задачи и выбора главного фундаментального решения. О других условиях на бесконечности см. Предельного поглощения принцип, Предельной амплитуды принцип. Пусть теперь рассматриваются к. З. Для линейного эллиптич. Уравнения общего вида в областях и евклидова пространства выделяемых замкнутой гладкой гиперповерхностью S, гомеоморфной сфере в , причем функции с и f предполагаются достаточно гладкими, f - финитная.

Условия регулярности на бесконечности типа (1) или (2) будут достаточны во внешних к. З. Соответственно при или в тех случаях, когда для оператора Lвыполняется принцип максимума и существует одно единственное главное фундаментальное решение. В частности, для этого необходимо . См. [1], [2], [3]. Вопрос о применимости условия излучения, принципа предельного поглощения и принципа предельной амплитуды в общем виде нельзя считать полностью изученным (1977). Кроме условий на бесконечности, внешняя и внутренняя к. З. Могут отличаться условиями существования решения. Напр., в случае внутренней Неймана задачи, для уравнения Лапласа в конечной области необходимое условие существования решения имеет вид где - заданная граничная функция в условии Неймана .

Однако для внешней задачи Неймана в бесконечной области это условие уже не является необходимым. Лит.:[1] Смирнов В. И., Курс высшей математики, т. 4, 5 изд., М., 1958. [2] Владимиров В. С., Уравнения математической физики, 2 изд., М., 1971 ;[3] Купрадзе В. Д., Граничные задачи теории колебаний и интегральные уравнения, М.-Л., 1950. [4] его же, Методы потенциала в теории, упругости, М., 1963. [5] Миранда К., Уравнения с частными производными эллиптического типа, пер. С итал., М., 1957. Е. Д. Соломенцев.