Внутренняя Геометрия

раздел геометрии, изучающий те свойства поверхности и фигур на ней, к-рые зависят лишь от длин кривых, лежащих на поверхности, и тем самым могут быть определены без обращения к объемлющему пространству. К В. Г. Регулярных поверхностей относятся такие понятия, как, напр., угол между кривыми, площадь области, полная (или гауссова) кривизна поверхности, геодезическая кривизна кривой, Леви-Чивита связность. Термин "В. Г." употребляется и в более общей ситуации для обозначения структуры (обычно метрики или связности), индуцированной в топология, пространстве его отображением в другое пространство, априори наделенное аналогичной структурой. Возможность рассматривать объекты В. Г. Как свойства самой поверхности, безотносительно к погружению ее в пространство, привела к исследованию абстрактных пространств с внутренней метрикой, свойства к-рых сходны с В.

Г. Поверхностей (см. Риманово пространство, Выпуклая поверхность, Двумерное многообразие ограниченной кривизны). Наряду с внутренним подходом возможно выделение классов погруженных поверхностей и подмногообразий по их внешнегеометрич. Свойствам. Сравнение этих двух подходов составляет проблему изометрических погружений и вложений. В ряде важных случаев оба подхода приводят к одним и тем же классам метрик. Напр., любая риманова метрика (класса , ) может рассматриваться как В. Г. Нек-рого подмногообразия евклидова пространства достаточно большой размерности, любая полная двумерная внутренняя метрика неотрицательной кривизны - как В. Г. Выпуклой поверхности в . Клас-сич. Пример противоположной ситуации представляет Гильберта теорема о несуществовании регулярного изометрич.

Погружения плоскости Лобачевского в Термин "В. Г.", отнесенный к подобного рода абстрактным пространствам, обретает смысл только в противопоставлении внешней геометрии в рамках к.-л. Определенной теории. Выяснение связей между В. Г. Поверхностей и ее внешней геометрии составляет одну из наиболее трудных и содержательных задач геометрии. Сюда наряду с проблемой изометрич. Погружений относятся, напр., следующие вопросы. Изгибание поверхностей, бесконечно малые изгибания, однозначная определенность поверхности ее метрикой, влияние гладкости метрики на гладкость поверхности. Рассматривались также соотношения между внешней и В. Г. При суперпозиции погружений (кривые на поверхности, минимальные подмногообразия сфер). Основы В.

Г. Созданы К. Гауссом (С. Gauss) (см. [1]). Они развиты в многомерном случае Б. Риманом (В. Hiemann) (см. [2]), а в нерегулярном случае А. Д. Александровым (см. [3]). Лит.:[1] Гаусс К., Общие исследования о кривых поверхностях, пер. С лат., в сб. Об основаниях геометрии, М. Г 1956. [2] Риман В., О гипотезах, лежащих в основании геометрии, пер. С нем., там же, с. 309-11. [3] Александров А. Д., Внутренняя геометрия выпуклых поверхностей, М.-Л., 1948. Ю. Д. Бурого.