Возмущений Теория

- комплекс методов исследования различных задач, используемый во многих разделах математики, механики, физики и техники. Здесь с общей точки зрения излагаются основные идеи В. Т. В. Т. Основана на возможности приближенного описания исследуемой системы с помощью нек-рой специальным образом выбираемой "идеальной" системы, допускающей корректное и полное изучение. Одним из признаков применимости В. Т. В одной из ее форм, определяемой спецификой конкретной задачи, для к-рой В. Т. Разрабатывается, является условие того, что уравнения, описывающие исследуемый процесс, содержат в явной или неявной форме малый параметр (или несколько таких параметров). При этом требуется, чтобы при нулевом значении малого параметра уравнения допускали точное решение, и таким образом проблема сводится к нахождению асимптотики наилучшего приближения к истинному решению с точностью до e, e 2, .

1) В. Т. Впервые была предложена для решения проблем небесной механики, связанных с изучением движения планет в солнечной системе. Удаленность планет друг от друга и малая величина их массы в сравнении с массой Солнца позволяют пренебрегать гравитационным взаимодействием планет между собой и рассматривать их движение (в первом приближении) по орбитам Кеплера, определяемым из уравнений двух тел задачи- планеты и Солнца. Существенное уточнение астрономич. Данных сформулировало проблему учета влияния других планет на движение одной из них вокруг Солнца. Так возникла классическая трех тел задача, причем, напр., при изучении системы Луна - Земля - Солнце в качестве малого параметра выбиралось отношение масс Луны и Земли.

Начиная с трудов Ж. Лагранжа (J. Lagrange), П. Лапласа (P. Laplace) было выдвинуто представление о том, что постоянные величины, характеризующие движение планеты вокруг Солнца, ввиду влияния движения других планет как бы "возмущаются" и претерпевают изменения, зависящие от времени. Отсюда идет и наименование "теория возмущений". В. Т. Занимала внимание классиков Ж. Лагранжа, П. Лапласа, С. Пуассона (S. Poisson), К. Гаусса (С. Gauss) и в результате их работ оказалось возможным проводить вычисления с чрезвычайно большой точностью. Триумфом В. Т. Явилось открытие планеты Нептун (1848) Дж. Адамсом (J. Adams) и У. Леверье (U. Le Verrier) из анализа отклонений в движении планеты Уран. Трудности первоначально разработанных методов В. Т. Были обусловлены наличием в получающихся разложениях членов, содержащих время tвне знака синуса или косинуса.

Вклад таких членов в ряд В. Т. Существен лишь за длительные промежутки времени (порядка столетий), но и в этом случае невозможно строгое описание планетных движений в схеме В. Т.- приемлемым является только первое приближение. Появление так наз. Секудярных членов обусловлено зависимостью частоты движения (обращения) исследуемой планеты от соответствующих частот других планет. Учет такого рода зависимости и приводит к возникновению в решениях как секулярных (вида ), так и смешанных (вида ) членов. Напр., соотношение в схеме В. Т. Допускает следующее разложение по смешанный член в к-ром появляется в результате разложения колебания с частотой (1) по колебаниям с частотой w0. Создание специальных методов В.

Т., устраняющих секулярные члены, т. Е. Позволяющих представить решение в чисто тригонометрич. Виде, связано с работами Линдштедта (Lindstedt), П. Гульдина (P. Guldin), Ш. .