Волновое Уравнение

уравнение с частными производными вида описывающее различные колебательные процессы и процессы распространения волн. Для В. У., являющегося уравнением гиперболич. Типа, обычно ставятся две задачи. Коши задача и смешанная задача. Классич. Решением задачи Коши, описывающей распространение волн в n-мерном евклидовом пространстве Е", наз. Функцию к-рая. Непрерывно дифференцируема в -мерном полупространстве (, ). Дважды непрерывно дифференцируема и удовлетворяет В. У. В полупространстве (). Удовлетворяет начальным условиям где и - заданные функции. Классич. Решением смешанной задачи, описывающей колебания ограниченного объема , наз. Функцию к-рая. Непрерывно дифференцируема в замкнутом цилиндре . Дважды непрерывно дифференцируема и удовлетворяет В.

У. В открытом цилиндре . Удовлетворяет для начальным условиям и удовлетворяет к.-л. Краевому условию на "боковой" поверхности указанного цилиндра. Классич. Решение задачи Коши для достаточно гладких и дается так наз. Пуассона формулой, к-рая при n=1 переходит в Д'Аламбера формулу. В случае, когда в правой части В. У. Вместо нуля стоит заданная функция это уравнение наз. Неоднородным В. У. И решение его дается так наз. Кирхгофа формулой. Смешанная задача для В. У. Решается методом Фурье, методом конечных разностей и методом преобразования Лапласа. Наряду с изучением указанных задач в приведенной выше классич. Постановке рассматриваются вопросы существования и единственности классич. Решений, понимаемых в более слабом смысле (см.

[4]), а также обобщенных решений как задачи Коши, так и смешанной задачи (см. [2], [3]). Лит.:[1] Тихонов А. Н., Самарский А. А., Уравнения математической физики, 3 изд., М. 1966. [2] Соболев С. Л., Уравнения математической физики, 4 изд., М., 1966. [3] Ладыженская О. А., Смешанная задача для гиперболического уравнения, М., 1953. [4] Ильин В. А., "Успехи матем. Наук", 1960, т. 15, в. 2 (92), с. 97-154. [5] Соболев С. Л., Некоторые применения функционального анализа в математической физике, Новосиб., 1962. Ш. А. Алимов.