Вполне Регулярное Пространство

топологическое пространство, в к-ром всякие два множества, из к-рых одно замкнуто, а другое состоит лишь из одной точки, функционально отделимы (см. Отделимости аксиомы). В. Р. П., в к-рых все одноточечные множества замкнуты (т. Е. Вполне регулярные -пространства), часто наз. Тихоновскими пространствами. Они образуют один из важнейших классов топология, пространств, выделяющийся многими замечательными свойствами и особенно часто встречающийся в приложениях топологии к другим областям математики. Так, напр., пространство всякой топологич. Группы является В. Р. П., но может не быть нормальным пространством. Все тихоновские пространства являются ха-усдорфовыми и могут быть определены как пространства, имеющие (хаусдорфовы) бикомпактные расширения, т.

Е. Как (даже всюду плотные) подпространства бикомпактов. Среди этих расширений данного пространства имеется единственное с точностью до гомеоморфизма максимальное или Стоуна- Чеха бикомпактное расширение, к-рое может быть непрерывно отображено на всй-кое (хаусдорфово) бикомпактное расширение данного пространства так, что каждая его точка отображается в себя. Прямое определение тихоновских пространств без привлечения действительных чисел и функций основано (см. [3]) на рассмотрении двух сопряженных баз пространства - открытой и замкнутой , причел сопряженность этих баз означает, что каждая база состоит из множества, дополнительных к множествам, составляющим другую базу. Такая пара сопряженных баз наз.

Регулярной, если она удовлетворяет следующим условиям. 1) всякие два дизъюнктные замкнутые множества базы имеют дизъюнктные окрестности, принадлежащие . 2) база является сетью, т. Е. Для произвольной точки хОХи ее произвольной окрестности Ох в базе найдется такой элемент В, что . Для того чтобы -пространство было вполне регулярным, необходимо и достаточно, чтобы оно обладало хотя бы одной регулярной парой сопряженных баз (теорема Зайцева). Лит.:[1] Александров П. С., Введение в общую теорию множеств и функций, М.-Л., 1948. [2] Понтрягин Л. С., Непрерывные группы, 3 изд., М., 1970. [3] Келли Д ж. Л., Общая топология, пер. С англ., М., 1968. [4] Александров П. С., Пасынков Б. А., Введение в теорию размерности. Введение в теорию топологических пространств и общую теорию размерности, М., 1973.

[5] Зайцев В. И., "Вести. Моск. Ун-та. Сер. Матем.", 1967, М 3, с. 48-57. П. С. Александров.