Гаусса Разложение

топологической группыС- представление всюду плотного подмножества в виде где Н - абелева подгруппа группы - нильпотентные подгруппы группы G, нормализуемые Н. Если G - группа невырожденных вещественных матриц m-го порядка, Н - подгруппа диагональных матриц, N(соответственно ) - подгруппа нижне (верхне)-треугольных матриц с единицами на главной диагонали, - подмножество матриц из G, все главные миноры к-рых отличны от нуля, то разложение наз. Разложением Гаусса полной линейной группы и непосредственно связано с Гаусса методом решения систем линейных уравнений. Если где - невырожденная матрица коэффициентов системы линейных уравнений то приведение матрицы методом Гаусса к треугольному виду , можно осуществить умножением g0 слева на нижнетреугольную матрицу Строгое определение разложения Гаусса требует введения следующих терминов.

Пусть G- топо-логич. Группа, Н - ее подгруппа, - нильпотентные подгруппы в G, нормализуемые Н. Подгруппа Нназ. Треугольным усечением группы, если а) где - коммутант группы - связные разрешимые подгруппы группы G;б) множество всюду плотно в G, и разложение однозначно. Разложение наз. Треугольным разложением в G. Если Н - абелева группа, то это разложение наз. Вполне треугольным разложением, или разложением Гаусса. В этом случае подгруппы разрешимы. Пусть - неприводимое (непрерывное) представление группы в конечномерном векторном пространстве - подпространство всех векторов из V, неподвижных относительно . Тогда инвариантно относительно Н, и представление группы в неприводимо. Представление определяет однозначно с точностью до эквивалентности.

Представление содержится (как инвариантная часть) в представлении группы , индуцированном представлением , подгруппы Вв классе , где - продолжение на Водноименного представления группы H, тривиальное на N. При этом пространство одномерно. Если Н - абелева подгруппа, то одномерно и - характер группы Н. Известны следующие примеры треугольных разложений групп Ли. 1) Пусть G - редук-тивная связная комплексная группа Ли с картановской подалгеброй - редуктивная связная подгруппа в G, содержащая . Тогда подгруппа Нявляется треугольным усечением группы G.2) Пусть G - редуктивная связная линейная группа Ли. Тогда группа G содержит треугольное усечение , где А - од-носвязная абелева подгруппа в G (порождаемая некомпактными корнями в алгебре Ли группы G), M - централизатор Ав максимальной компактной подгруппе .

3) В частности, всякая редуктивная связная комплексная группа Ли допускает Г. Р. , где Н - картановская подгруппа в группе G. Nсоответственно - аналитич. Одгруппа в G, алгебра Ли к-рой натянута на все корневые векторы (соответственно ), - корень относительно Н, т. Е. и являются противоположными Бореля подгруппами. В примерах 1) - 3) подгруппы од-носвязны, открыто в G в топологии Зариского, а отображение является изоморфизмом алгебраич. Многообразий (и, в частности, гомеоморфизмом). Этот факт позволяет доказать, что алгебраич. Многообразие G рационально. Лит.:[1] Желобенко Д. П., Компактные группы Ли и их представления, М., 1968. Д. П. Желобенко.