Гаусса Сумма

- тригонометрическая сумма вида где - числовой характер по модулю д. Г. С. Вполне определяется заданием характера и числа а. Г. С. Были рассмотрены К. Гауссом (С. Gauss) в 1811 в случае простого нечетного q=р и характера , где - Лежандра символ. В этом случае где Исследуя свойства суммы (*) К. Гаусс нашел точное выражение для модуля этой суммы. Он также решил более трудную задачу определения знака и показал, что и К. Гаусс использовал свойства сумм (*) для решения нек-рых задач теории чисел, в частности он применил их в одном из доказательств квадратичного закона взаимности. Значение Г. С. Для теории чисел было выявлено только в 20-е гг. 20 в. В это время Г. Вейль (Н. Weyl) применил для исследования равномерных распределений более общие тригонометрич.

Суммы, получившие назв. Вейля сумм. В то же время И. М. Виноградов использовал Г. С. Для получения оценки сверху наименьшего квадратичного невычета по модулю р. Г. с. Позволяют установить связь между двумя важными объектами теории чисел. Между мультипликативными характерами и аддитивными характерами (ради простоты берется только случай простого модуля р). Множество Fвсех комплекснозначных функций f(x).периода робразует p-мерное векторное пространство над полем комплексных чисел. Если определить скалярное произведение в F, положив то функции составят орто-нормированный базис F. При этом где Таким образом, Г. С. (с точностью до множителя ) являются координатами в разложении мультипликативного характера по аддитивным характерам .

Возможность линейного представления любого характера в виде линейной комбинации экспонент , вытекающая из свойств Г. С. Общего вида, лежит в основе вывода функционального уравнения для L-функции. Эти же соображения существенно используются в методе большого решета при переходе от оценок сумм от аддитивных характеров к оценкам сумм от мультипликативных характеров. Г. С. Применяются также для представления L-функций в виде конечных сумм. Такое представление используется в задаче о числе классов дивизоров кругового ноля. Вопрос о знаке Г. С. , принадлежащей квадратичному характеру, может быть поставлен в более общем виде для Г. С., принадлежащей характеру порядка . Так возникает Куммера гипотеза относительно кубических Г.

С. По простому модулю (mod 3) и обобщения этой гипотезы на случай k>3. Лит. [1] Карл Фридрих Гаусс. Сб. Статей, М., 1956. [2] Виноградов И. М., Метод тригонометрических сумм в теории чисел, М., 1971. [3] Дэвенпорт Г., Мультипликативная теория чисел, пер. С англ., М., 1971. [4] Прахар К., Распределение простых чисел, пер. С нем., М., 1967. [5] Xассе Г., Лекции по теории чисел, пер. С нем., М., 1953. Б. М. Бредихин.