Гензелево Кольцо

- коммутативное локальное кольцо, для к-рого выполняется Гензеля лемма, или, в другом определении, для к-рого выполняется теорема о неявной функции. Для локального кольца А с максимальным идеалом последнее означает, что для любого унитарного многочлена и простого решения уравнения по модулю существует , и Примерами Г. К. Являются полные локальные кольца, кольца сходящихся степенных рядов (и в более общем смысле, аналитические кольца), кольцо алгебраических степенных рядов (т. Е. Рядов из , алгебраических над ). Локальное кольцо, целое над Г. К., есть Г. К. В частности, факторкольцо Г. К. Есть Г. К. Для любого локального кольца Асуществует общая конструкция - такая локальная гензелева А-алгебра , что для любой локальной гензелевой А-алгебры Всуществует единственный гомоморфизм А-алгебр .

Алгебра локального кольца Аявляется строго плоским А-модулем, будет максимальным идеалом алгебры , поля вычетов Аи канонически изоморфны, пополнения Аи (в топологиях локальных колец) совпадают. Так, гензелевой А-алгеброй для является кольцо алгебраических степенных рядов от Если А - нётерово (соответственно приведенное, нормальное, регулярное, превосходное) кольцо, то таким же будет и . Напротив, если А - целостное кольцо, то может не быть целостным. Более точно, существует биективное соответствие между максимальными идеалами целого замыкания кольца Аи минимальными простыми идеалами . Г. К. С сепарабельно замкнутым полем вычетов наз. Строго локальным (или строго гензелевым) по причине локальности его спектра в этальнои топологии схем.

Аналогично конструкции построения геизелевой А-алгебры имеется функтор строгой гензелевой А-алгебры . Понятие Г. К. Можно вводить для полулокального кольца и даже в более общем смысле для пары кольцо - идеал. Г. К. Можно характеризовать как кольцо, над которым любая конечная алгебра есть прямая сумма локальных колец. Г. К. Введены в [1]. Общая теория Г. К. И конструкция гензелевой А-алгебры разработаны в [2]. В теории этальных морфизмов и этальнои топологии гензелева А-алгебра понимается как индуктивный предел этальных расширений кольца. В коммутативной алгебре взятие гензелевой А-алгебры часто заменяет операцию пополнения, играющую важную роль при локальном исследовании объектов. Лит.:[1] Azumауa G., c.Nagoya Math.

J.", 1951, v. 2, p. 119-50. [2] Nagata M., Local rings, N. Y.-L., 1962. [3] Grоthendiесk A., "Publ. Math. IHES", 1967, № 32, ch. 4. В.