Гензеля Лемма

- утверждение, полученное К. Гензелем [1] при создании теории р-адических чисел и нашедшее затем большое применение в коммутативной алгебре. Говорят, что для локального кольца А с максимальным идеалом m выполняется лемма Гензеля, если для любого унитарного многочлена и разложения его редукции по модулю в произведение двух взаимно простых многочленов существуют такие многочлены что (здесь черта обозначает образ при редукции ). В частности, для любого простого корня редуцированного многочлена существует решение уравнения , удовлетворяющее условию Г. Л. Выполняется, напр., для полного локального кольца. Г. Л. Позволяет сводить решение алгебраич. Уравнения над полным локальным кольцом к решению соответствующего уравнения над его полем вычетов.

Так в кольце -адических чисел из Г. Л. Следует разрешимость уравнения , так как это уравнение имеет два простых корня в поле .из семи элементов. Локальное кольцо, для к-рого выполняется Г. Л., наз. гензелевым кольцом. По поводу Г. Л. В некоммутативном случае см. [3]. Лит.:[1] Неnsе1 К., "J. Reine und angew. Мath.", 1904, Bd 27, S. 51-84. [2] Бурбаки Н., Коммутативная алгебра, пер. С франц., М., 1971. [a] Zassenhaus H., "Arch. Math.", 1954, Bd 5, № 4-6, S. 317-25. В.