Гильбертова Алгебра

алгебра Ас инволюцией над полем комплексных чисел, снабженная невырожденным скалярным произведением (|), причем выполняются следующие аксиомы. 1) для всех для всех 3) для всех отображение пространства Ав Анепрерывно. 4) множество элементов вида , всюду плотно в А. Примерами гильбертовых алгебр являются алгебры (относительно свертки), где - компактная топологич. Группа, и алгебра операторов Гильберта - Шмидта в данном гильбертовом пространстве. Пусть А - Г. А., Н - гильбертово пространство - пополнение - элементы алгебры ограниченных линейных операторов в H, являющиеся продолжениями по непрерывности умножений слева и справа на хв А. Отображение (соответственно ) есть невырожденное представление алгебры А(соответственно алгебры с инволюцией, противоположной А).в гильбертовом пространстве Н.

Слабое замыкание семейства операторов (соответственно V).является алгеброй Неймана в Н;она наз. Левой (соответственно правой) алгеброй Неймана данной Г. А. Аи обозначается (соответственно ). и являются коммутантами друг друга. Это - полуконечные алгебры Неймана. Любая Г. А. Однозначно определяет нек-рый точный нормальный полуконечный след на алгебре Неймана . Обратно, если дана алгебра Неймана и точный нормальный полуконечный след на , то можно построить Г. А. Такую, что левая алгебра Неймана этой Г. А. Изоморфна , и след, определяемый на Г. А., совпадает с исходным (см. [1]). Таким образом, Г. А. Является средством изучения полуконечных алгебр Неймана и следов на них. Нек-рое обобщение понятия Г. А. Позволяет изучать аналогичными средствами не обязательно полуконечные алгебры Неймана (см.

[2]). Лит.:[1] Dixmier J., Les algebres d'operateurs dans 1'espace hilbertien, 2 ed., P., 1969. [2] Тakesaki M., Tomita's theory of modular Hilbert algebras and its applications, В., 1970. А. И. Штерн.