Гомотопический Тип

топологизированной категории - проективная система топологич. Пространств, ассоциированная с топологизированной категорией и позволяющая определять гомотопические группы этой категории, группы гомологии и когомологий со значениями в абелевой группе и т. Д. Рассматриваются только локально связные топологизированные категории , т. Е. Такие категории С, снабженные топологией Гротендика , любой объект к-рых представим в виде копроизведения неразложимых объектов играет роль множества связных компонент топологич. Пространства. Множество индексов I определено однозначно с точностью до биекции. Оно обозначается . Сопоставление определяет функтор из категории Св категорию множеств. Произвольное покрытие объекта Xв топологии определяет симплициальный объект U.

В категории С, для к-рого и симплициальное множество . Геометрич. Реализация симплициального* множества дает топологич. Пространство . Для любого измельчения - покрытия ( пропускается через ) определено (с точностью до гомотопий) непрерывное отображение . Таким образом, объекту Xсопоставляется проективная система топологич. Пространств , где - семейство всех покрытий объекта X. Это определение аналогично определению когомологий Чеха. Известно, однако, что в общем случае когомологий Чеха дают "правильные" когомологий только в размерностях 0 и 1. Поэтому приведенная выше конструкция не может считаться удовлетворительной. В [1] введено понятие гиперпокрытия, обобщающее симплициальные объекты U., построенные выше для покрытий .

Это - снова симплициальный объект K, в топологизированной категории с финальным объектом X, удовлетворяющий условиям. - покрытие объекта X;для любого пканонич. Морфизм является покрытием, где - функтор п- гокоскелета. Сопоставление каждому гиперпокрытию K, топологич. Пространства приводит к проективной системе пространств, параметризованной гиперпокрытиями. Это и определяет гомотопический тип (а точнее - прогомотопический тип) топологизированной категории с финальным объектом X. Группы гомотопий, гомологии и когомологий вводятся стандартным способом. Г. Т. Топологизированной категории, ассоциированной со схемой, позволяет определить Г. Т. Схемы. Наиболее часто рассматривают случай этальной топологии на схеме X.

В этом случае Г. Т. Схемы Xпредставляет собой прообъект категории пунктированных симплициальных множеств или категории конечных клеточных комплексов. Определяемые для таких объектов гомотопические группы являются проконечнымн группами и наз. I-ми гомотопическими группами схемы X(см. [2]). Если X - нормальная схема, то совпадает с фундаментальной группой схемы, определяемой по Гротен-дику [3]. Г. Т. Точки где - поле, совпадает с проективным пределом пространств Эйленберга - Маклейна где - группа Галуа конечного расширения Галуа поля . В случае алгебраич. Многообразий над полем комплексных чисел имеет место теорема сравнения. Группы являются проконечным пополнением обычных гомотопич. Групп комплексного пространства Х ап, ассоциированного с X.

Лит.:[1] Труды международного конгресса математиков (Москва. 1966), М., 1908, с. 44-56. [2] Theorie des Toposes et coliomologie etale des schimas, t. 1-3, B.-Hdlb.-N.Y.,1974. [3] ArtinM., Mazur В., Etale homotopy, B.-Hdlb.- N. Y., 1969. [41 Сулляван Д., Геометрическая топология, пер. С англ., М., 1975. [5] Revetements etales et groupe fondamental (S6A1), В.-Hdlb.-N.Y., 1971. В. И. Данилов, И. В. Долгачев.