Гомотетия

- преобразование евклидова пространства относительно пек-рой точки О, ставящее в соответствие каждой точке Мточку М', лежащую на прямой ОМ, по правилу где k - постоянное, отличное от нуля число, наз. Коэффициентом Г. Точка Оназ. Центром Г. При k>0 точки М и М' лежат на одном луче, при k<0 - по разные стороны от центра. Точке Осоответствует сама эта точка. Г. Есть частный случай подобия. Две фигуры наз. Гомотетичным и (а также подобными и подобно расположенными, или перспективно-подобным и), если каждая состоит из точек, получаемых преобразованием Г. Из другой фигуры относительно нек-рого центра Г. Простейшие свойства Г. Г. Есть взаимно однозначное отображение евклидова пространства в себя с одной неподвижной точкой.

При k= 1 Г. Есть тождественное преобразование. Г. Переводит прямую (плоскость), проходящую через центр Г., в себя, прямую (плоскость), не проходящую через центр,- в прямую (плоскость), ей параллельную. Углы между прямыми (плоскостями) при Г. Сохраняются. Отрезки при Г. Переходят в параллельные им отрезки с длиной, уменьшенной или увеличенной в |k| раз, т. Е. Г. Есть сжатие (растяжение) евклидова пространства к точке О. Всякая сфера при Г. Преобразуется в сферу, причем центр одной переходит в центр другой. Г. Задается чаще всего (геометрически) центром Г. И парой соответственных точек или двумя парами соответственных точек. Г. Есть аффинное преобразование, имеющее одну (и только одну) двойную точку. В га-мерных евклидовых пространствах Г.

Оставляет инвариантными каждую из совокупностей fe-мерпых плоскостей пространства. Аналогично определяется Г. В псевдоевклидовых пространствах. Г. В римановых пространствах и в псевдо-римановых пространствах определяется как преобразование, переводящее метрику пространства в себя с точностью до постоянного множителя. Совокупность Г. Составляет группу преобразований Ли, причем r-членная группа Г. Риманова пространства содержит -членную Нормальную подгруппу движений. И. П. Егоров .