Грама Определитель

- определитель вида где - элементы (пред)гильбертова пространства, а -их скалярные произведения. Г. О. Равен квадрату n-мерного объема параллелотопа, построенного на векторах . Г. О. Является определителем неотрицательной эрмитовой формы откуда и вытекают его основные свойства. 1) Г. О. Неотрицателен, т. Е. . Равенство имеет место тогда п только тогда, когда векторы линейно зависимы. Это свойство может рассматриваться как обобщение Ноши неравенства. В частности, Г. О. Равен нулю, если какой-либо его главный минор (также являющийся Г. О.) равен нулю. причем равенство имеет место тогда и только тогда, когда подпространства и ортогональны или один из определителей , равен нулю. Геометрически это неравенство означает, что объем параллелотопа не превосходит произведения объемов дополнительных граней.

В частности, где есть расстояние от элемента а п до подпространства т. Е. Наилучшее квадратическое приближение элемента полиномами вида Если суть га-мерные векторы , то Г. О. Введены И. П. Грамом [1] и независимо К. А. Андреевым (см. [2]) в связи с задачами разложения функции в ортогональные ряды и наилучшего квадрати-ческого приближения функций. Г. О. Применяются при решении многих задач линейной алгебры и теории функций. Исследовании линейной зависимости системы векторов или функций, ортогонализации системы функций, построение проекторов, а также при изучении свойств систем функций. См. Также Грама матрица. Г. О. Являются частным случаем определителей вида к-рые эрмитово билинейны по отношению к векторам и .

Если принадлежат классу , то справедлива формула Лит.:[1] Gram J. P., On Rsekkeudviklinger bestemte ved Hjelp of de mindste Kvadraters Methode, Kopenh., 1879. [2] Андреев К. А., Избр. Работы, Харьков, 1955. [3] Гантмахер Ф. Р., Теория матриц, 3 изд., М., 1967. Л. П. Купцов.