Дифференцирование Отображения

- нахождение дифференциала или, иначе, главной линейной части отображения. Нахождение дифференциала, т. Е. Аппроксимация отображения в окрестности нек-рой точки линейными отображениями, является важнейшей операцией дифференциального исчисления. Дифференциальное исчисление наиболее разработано в топологич. Линейных пространствах. Пусть Xи Y-линейные топологич. Пространства. Пусть отображение f определено на открытом множестве V пространства Xи принимает значения в пространстве Y. Если разность f(x0+h)-f(x0), где и может быть аппроксимирована линейной относительно приращения hфункцией l х0. X->. Y, то f наз. Дифференцируемым отображением в точке х 0. При этом аппроксимирующая линейная функция lx0 наз. Производной или дифференциалом отображен и яв точке х 0 и обозначается символом f'(x0 )или df(x0).

Отображения, имеющие в данной точке одинаковые производные, наз. Касательными отображениями друг к другу в этой точке. Значение аппроксимирующей функции на элементе (обозначаемое символом f'(x0)hили dhf(x0 ))наз. Дифференциалом отображения f в точке х 0 при приращении h. В зависимости от того, что понимается под аппроксимацией приращения f(x0+h)-f(x0 )линейным по hвыражением, приходят к различным понятиям дифференцируемости и производной. Все важнейшие существующие определения см. П [1], [2]. Пусть F-совокупность всех отображений из Xв Yих - нек-рая топология или псевдотопология в F. Отображение является малым в нуле, если кривая понимаемая как отображение прямой в F, непрерывна в нуле в псевдотопологии т.

Далее, отображение дифференцируемо в точке х 0, если существует такое линейное (непрерывное) отображение lx0, что отображение является малым в нуле. В зависимости от выбора т в Fполучаются различные определения производных. Напр., в случае, если в качестве топологии т выбирается топология поточечной сходимости, получается дифференцируемость по Гато (см. Гато производная). В случае, если Xи У - банаховы пространства, а топология в Fесть топология равномерной сходимости на ограниченных множествах в X, приходят к дифференцируемости по Фреше (см. Фреше производная). Если X=Rn,a Y=Rm, то производная f'(x0 )дифференцируемого отображения f(x)=(f1(x), ...,fm(x)), где x=( х 1,..., х п), задается Якоби матрицей ||дfi(x0)/dxj|| и является непрерывным линейным отображением из Rn в Rm.

Производные отображений обладают многими свойствами производных функций одного переменного. Напр., для них в самых широких предположениях имеет место свойство линейности. во многих случаях для них верна формула дифференцирования сложной функции. Для отображений в локально выпуклые пространства справедливо обобщение теоремы Лагранжа о среднем значении. Понятие дифференцируемого отображения распространяется на случай, когда X и Y- гладкие дифференцируемые многообразия, как конечномерные, так и бесконечномерные [4], [5], [6]. Дифференцируемые отображения бесконечномерных пространств и их производные были определены впервые В. Вольтерра (V. Volterra, 1887), М. Фреше (М. Frechet, 1911), Р. Гато (R. Gateau, 1913). Подробнее об истории развития понятия производной в многомерных пространствах см.

[2]. Лит.:[1] Фрёлихер А., Бухер В., Дифференциальное исчисление в векторных пространствах без нормы, пер. С англ., М., 1970. [2] Авербух В. И., Смолянов О. Г., "Успехи матем. Наук", 1967, т. 22, в. 6, с. 201-60. 1968, т. 23, в. 4, с. 67-116. [3] Дьедонне Ж., Основы современного анализа, пер. С англ., М., 1964. [4] Ленг С, Введение в теорию дифференцируемых многообразий, пер. С англ., М., 1967. [5] Бурбаки Н., Дифференцируемые и аналитические многообразия. Сводка результатов, пер. С франц., М., 1975. [6] Спивак М., Математический анализ на многообразиях, пер. С англ., М., 1968. О. Г. Смоляное, В. И. Соболев, В. М. Тихомиров..