Дифференцирование

кольца - отображение дкольца Rв себя, (-являющееся эндоморфизмом аддитивной группы кольца Rи удовлетворяющее соотношению Пусть М- левый R-модуль. Дифференцированием- кольца Л со значениями в Мназ. Гомоморфизм соответствующих аддитивных групп, удовлетворяющий условию для всех х, у из Л. Для любого элемента с из центра Скольца Л отображение где д - дифференцирование, является Д. Сумма двух дифференцирований также является Д. Это определяет на множестве всех Д. Кольца Л со значениями в Мструктуру С-модуля, обозначаемого Der(R, М). Если Sподкольцо в Л, то Д. Дтакое, что д(s) = 0 для всех наз. S-дифференцированием. Множество всех S-дифференцирований образует подмодуль в Der(Л, М), обозначаемый Ders (Л, М). Операция определяет в S-модуле DerS (Л, М)структуру S-алгебры Ли.

Если j:.- гомоморфизм R-модулей, то для любого композиция Der(R, M). Пусть R - кольцо полиномов А[ Т 1,..., Т п]с коэффициентами в коммутативном кольце А. Отображение является А-дифференцированием кольца R, а R-модуль DerA(R, R) - свободным модулем с базисом д/дТ 1, ...,д/дТ n. Для любого элемента аассоциативного (соответственно лиева) кольца R отображение (соответственно ) будет Д. Кольца R, наз. Внутренним дифференцированием. Д., не являющееся внутренним, наз. Внешним. Если R- подкольцо кольца R' и то говорят, что продолжает д, когда ограничение на R совпадает с д. В случае, когда R- коммутативное целостное кольцо, а R'- его поле частных, а также в случаях, когда R'- сепарабельное алгебраич. Расширение поля R или R - алгебра Ли над полем k, а R'- ее обертывающая алгебра, существует единственное продолжение любого Д.

Д. На Л'. Имеется тесная связь между Д. И изоморфизмами колец. Напр., если д- нильпотентное Д., т. Е. д п=0, и R - алгебра над полем характеристики нуль, то отображение является автоморфизмом k-алгебры R. Если R - локальное коммутативное кольцо с максимальным идеалом m, то имеет место биекция между множеством Д. Der(R, R/m) и множеством автоморфизмов кольца R/m2, индуцирующих тождественный автоморфизм поля вычетов R/m. Д. Несепарабельных расширений полей играют роль элементов группы Галуа сепарабельных расширений в теории Галуа таких расширений [4]. Лит.:[1] Бурбаки Н., Алгебра. Многочлены и поля. Упорядоченные группы, пер. С франц., М., 1965. [2] Джекобсон Н., Теория колец, пер. С англ., М., 1947. [3] Ленг С, Алгебра, пер.

С англ., М., 1968. [4] Моrdesоn J., Vinograde В., Structure of arbitrary purely inseparable extension fields, В., 1970. И. В. Долгачев..