Дробная Степень

линейного оператора Ав комплексном банаховом пространстве Е- функция f{A )от этого оператора такая, что f(z)=za. Если оператор Аограничен, и спектр его не содержит и не окружает нуля, то А a определяется Коши интегралом по контуру, окружающему спектр A и не содержащему внутри себя нуль. Если Анеограничен, то контур приходится брать бесконечным, и возникают вопросы об условиях сходимости интеграла. Если Аимеет плотную в Еобласть определения D(А)и при l<0 имеет резольвенту с оценкой то где Г состоит из сторон угла, строящегося по М. Операторы А -a ограничены и при любом и Положительные степени определяются так. А a =( А -a)-1;они уже являются неограниченными. При любых действительных a и b выполнено основное свойство степеней для и g=mах{a, b, a+b}.

При 0<a<1 (А a)b=Аab. При любых a<b<g и (неравенство моментов). Полугруппа степеней А -a допускает расширение до полугруппы A-z, аналитической в правой полуплоскости. Ряд приведенных свойств Д. С. Обобщается на случай, когда Ане имеет ограниченного обратного и справедлива оценка s>0. При условии (1) и при 0<а<1 Если оператор В- производящий оператор сжимающей полугруппы U(t), то Из условия (1) не вытекает, что -А является производящим оператором сильно непрерывной полугруппы, но оператор - А a. При является производящим оператором аналитич. Олугруппы. Оператор Вподчинен оператору А, если и Если Вподчинен Аи резольвенты обоих операторов обладают свойством (1), то В a. Подчинен А b.

При Если А- положительный самосопряженный оператор в гильбертовом пространстве, то его Д. С. Определяется через спектральное разложение В неравенстве моментов для такого оператора константа с(a, b, g)=1. Пусть Аи В- два самосопряженных положительных оператора, действующие в гильбертовых пространствах Ни Н 1 соответственно. Если Т- такой ограниченный линейный оператор из Нв Н 1 с нормой М, что и то и (неравенство Хайнца). В частности, при H=H1 и Т=I из подчиненности Воператору Аследует подчиненность В a оператору А a при Д. С. Операторов применяются при исследовании нелинейных уравнений. Они детально изучены для операторов, порожденных эллиптич. Праевыми задачами. Лит.:[1] Функциональный анализ. [Справочная математическая библиотека], 2 изд., М., 1972.

[2] Крейн С. Г., Линейные дифференциальные уравнения в банаховом пространстве, М., 1967. [3] Сили Р., "Математика", 1988, т. 12, № 1, с. 96 - 112. С. Г. Крейн..