Егорова Система

поверхностей - триортогональная система е, состоящая из потенциальных поверхностей. Названа по имени Д. Ф. Егорова, подробно рассмотревшего (под названием потенциальных систем) в 1901 (см. [1]) общую теорию и многочисленные примеры систем указанного вида. Е. С. 2 может быть определена как система, допускающая (однопараметрическую) группу преобразований, переводящих 2 саму в себя таким образом, что нормали в соответственных точках 2 остаются параллельными. Механическим истолкованием этой группы служит переносящее поверхности Е. С. Стационарное течение жидкости, имеющее потенциал скоростей. Пусть - уравнения поверхностей, образующих Е. С. 2, Я/ - коэффициенты Ламе, фигурирующие в выражении квадрата линейного элемента пространства в криволинейных координатах {и i}.

Р i- расстояние начала координат от трех касательных плоскостей е, Rik -главные радиусы кривизны поверхности и'= const, соответствующие элементу дуги Hkduk,bik=-Hk/Rik- величины, через к-рые выражаются линейные элементы dsi сферич. Изображений поверхностей. Функции Pi и Hi удовлетворяют одной и той же системе уравнений. Решения этих уравнений определяют еще две Е. С. Е 1 и е -1 того же сферич. Изображения, для к-рых Продолжение этого преобразования в ту и другую стороны дает ряд Е. С. (ряд Егорова) одного сферич. Изображения, из к-рых каждая следующая е k+1 получается из предыдущей е k с помощью формул. И вообще, изыскание сферич. Изображения Е. С. Е приводится к изысканию потенциальной системы на сфере. Любую такую систему можно принять за сферич.

Изображение одного из трех семейств, составляющих 2. Е. С. Е характеризуется тем, что где w - некоторая функция, имеющая смысл потенциала скоростей соответствующего течения, т. Е. Ui=const - потенциальные поверхности. При этом, для любой потенциальной поверхности Sопределяется Е. С. 2, в состав к-рой входит S. Касательная к линии пересечения какой-либо поверхности w=const с поверхностью ui=const в любой точке параллельна лучу li, соединяющему центры геодезич. Кривизн линий кривизны поверхности ui=const. Во всякой точке пространства три луча l1. L2, l3 параллельны одной и той жеплоскости - касательной плоскости поверхности w= const, а соприкасающиеся плоскости координатных линий проходят через одну прямую. Величины bik и Rik для Е.

С. Удовлетворяют соотношениям. (симметричность bik также необходима и достаточна для того, чтобы триортогональная система была Е. С). Лит.:[1] Егоров Д. Ф., Работы по дифференциальной геометрии, М., 1970. М. И. Войцехоеский..