Инверсная Полугруппа

- полугруппа, в к-рой для любого элемента асуществует единственный инверсный к нему элемент а -1 (см. Регулярный элемент). Свойство полугруппы Sбыть инверсной эквивалентно каждому из следующих. S регулярная полугруппа и любые два ее идемпотента перестановочны (таким образом, множество всех идемпотентов И. П. Есть полурешетка, см. Идемпотентов полугруппа);каждый левый и каждый правый главные идеалы полугруппы Sимеют единственный порождающий идемпотент. Всякая группа будет И. П., группы и только они являются И. П. С единственным идемпотентом. Важную роль при изучении И. П. Играет следующее отношение остественного частичного порядка на произвольной И. П. S:тогда и только тогда, когда ab-1=aa-1 ( а,). На полурешетке идемпотентов И.

П. Оно совпадает с естественным частичным порядком этой полурешетки (см. Идемпотент). Полурешетка инверсных полугрупп (см. Связка полугрупп). Будет И. П. Сдвиговая оболочка И. П. (см. Сдвиги полугрупп )также будет И. П. [7]. Всякая конгруэнция на И. П. Определяется своими классами, содержащими идемпотенты. Пусть JX- множество всех взаимно однозначных частичных преобразований множества X(включая и "пустое преобразование" - отображение пустого множества на себя). Относительно операции суперпозиции множество JX является И. П., к-рая наз. Симметрической И. П. На множестве X. Принципиальное значение имеет следующая теорема Вагнера - Престона. Произвольная И. П. Sизоморфно вложима в симметрическую И. П. JS Теория И. П. Представляет собой один из важных и глубоко разработанных разделов теории полугрупп.

Изучены представления И. П. Взаимно однозначными частичными преобразованиями и матрицами над полем (см. [1]). Исследуются конгруэнции на И. П. Изучаются И. П. С условиями конечности. Выделен целый ряд важных специальных типов И. П. Накладываемые при этом ограничения по большей части либо носят характер простоты в нек-ром смысле (напр., бипростота, см. Простая полугруппа), Либо относятся к полурешетке идемпотентов Е, либо являются комбинациями условий обоих типов. Ограничения на Емогут касаться абстрактных свойств Екак полурешетки (например, Е- цепь специального вида), либо тех или иных относительных свойств Ев полугруппе, в частности поведения Еотносительно нек-рых конгруэнции. На любой И. П. Sсуществует наименьшая конгруэнция sс тем свойством, что S/sесть группа (наименьшая групповая конгруэнция), причем И.

П. Наз. С-о бственной, если Есоставляет s-класс. На любой И. П. Sсуществует наибольшая конгруэнция m, разделяющая идемпотенты, причем и mсодержится в отношении (см. Грина отношения эквивалентности);И. П. Наз. Фундаментальной, если m совпадает с отношением равенства. Для упомянутых типов И. П. Получено немало структурных теорем. При этом во многих случаях описание И. П. Осуществляется "по модулю групп". Группы выступают в качестве блоков различных конструкций, в к-рых участвуют также полурешетки, гомоморфизмы групп и т. П. Таковы, напр., типичные описания клиффордовых И. П. (см. Клиффордова полугруппа )и вполне О-простых И. П. (см. Брандта полугруппа). И. П. Можно рассматривать и как универсальные алгебры с двумя операциями. Бинарной - умножением и унарной - взятием инверсного элемента.

Получена классификация моногенных (т. Е. Порожденных одним элементом) И. П. Как таких алгебр [6], [9]. Относительно указанных операций класс всех И. П. Является многообразием. Он может быть задан, напр., следующей системой тождеств [8]. Лит.:[1] Клиффорд А., Престон Г., Алгебраическая теория полугрупп, пер. С англ., т. 1-2, М., 1972. [2] Ляпин Е. С, Полугруппы, М., 1960. [3] Курош А. Г., Общая алгебра. Лекции 1969-1970 учебного года, М., 1974. [4] Вагнер В. В., "Докл. АН СССР", 1952, т. 84, №6, с. 1119-22. [5] Preston G., "J. Lond. Math. 'Soc", 1954, v. 29, № 4, p. 396-403. [6] Глускин Л. М., "Матем. Сб.", 1957, т. 41, ЛГ" 1, с. 23-36. [7] Понизовский И. С, "Успехи матем. Наук", 1965, т. 20, № 6, с. 147-48. [8] Теория полугрупп и ее приложения, в. 1, Саратов, 1965, с.

286-324. [9] Ершова Т. И., "Матем. Зап. Уральского ун-та", 1971, т. 8, № 1, с. 30-33. [10] Munn W. D., в кн. Semigroups, N.Y.-L., 1969, р. 107-23. [11] О'Саrrоl . L., "J. Algebra", 1976, v. 42, р. 26-40. Я. Я. Шеврин..