Интегральное Преобразование

- функциональное преобразование вида где С- конечный или бесконечный контур в комплексной плоскости, К( х, t)- ядро И. П. Наиболее часто рассматриваются И. П., для которых K(x,t)=K(xt )и С- действительная ось или ее часть ( а, b). Если то И. П. Наз. Конечным И. П. Формулы, позволяющие восстановить функцию f(t)по известной F(x), наз. Формулами обращения И. П. Примеры И. П. Преобразование Бохнера. где Jv (х)- функция Бесселя 1-го рода порядка v, р - расстояние в Rn. Формула обращения. F= T2f. Равенство Парсеваля. Преобразование Вебера. где Yv(x).- функции Бесселя 1-го и 2-го рода. Формула обращения. При а->0 преобразование Вебера переходит в преобразование Ганкеля. При v==±1/2 это преобразование сводится к синус- и косинус-преобразованиям Фурье.

Формула обращения. Если f(t)имеет ограниченную вариацию в окрестности точки t0>0 и то Равенство Парсеваля. Если F(x)п G(x)- преобразования Ганкеля функций f(t)и g{t), причем f, то Другие формы преобразования Ганнеля. Преобразование Вейерштрасса. является частным случаем свертки преобразования. Цепные преобразования. Пусть причем fn+1(x)=f1(x). Такая последовательность И. П. Наз. Цепочкой И. П. При n=2 цепные И. П. Часто наз. Преобразованиями Фурье. Кратные (многомерные) И. П.- преобразования вида (1), где t, С- некоторая область n-мерного комплексного евклидова пространства. И. П. Обобщенных функций могут быть построены следующими основными способами. 1) Строится пространство основных функций U, содержащее ядро К( х, t )рассматриваемого И.

П. Т. Преобразование Tf для любой обобщенной функции определяется как значение функционала f на основной функции К( х, t). Формулой 2) Строится пространство основных функций U, на к-ром определено классическое И. П. Т, отображающее Uна нек-рое пространство основных функций V. И. П. T'f обобщенной функции вводится равенством 3) Рассматриваемое И. П. Выражается через другое И. П., к-рое определено для обобщенных функций. См. Также ст. Ватсона преобразование, Гаусса преобразование, Гегенбауэра преобразование, Конторовича- Лебедева преобразование, Мейера преобразование, Мелера- Фока преобразование, Меллина преобразование. Свертки преобразование, Стилтьеса преобразование, Уиттекера преобразование, Фурье преобразование, Харди преобразование, Эйлера преобразование, Эрмита преобразование, Якоби преобразование.

Лит.:[1] Диткин В. А., Прудников А. П., в сб. "Итоги науки. Математический анализ. 1966", М., 1967, с. 7-82. [2] Брычков Ю. А., Прудников А. П., Интегральные преобразования обобщенных функций, М., 1977. [3] Владимиров В. С, Обобщенные функции в математической физике, М., 1976. Ю. А. Брычков, А. П. Прудников..