Интегральный Оператор

- отображение когда закон соответствия Азадается с помощью интеграла. И. О. Наз. Иногда интегральным преобразованием. Так, напр., для интегрального оператора Урысона (см. Урысона уравнение). закон соответствия Аопределяется интегралом (или оператор порождается интегралом) причем D- заданное измеримое множество конечной меры Лебега в конечномерном пространстве. P(t,t, и), t,- заданная измеримая функция. Предполагается, что функции Ри j удовлетворяют условиям, обеспечивающим существование интеграла в (1) в смысле Лебега. Если функция P(t,t, u) нелинейна относительно и, то (1) является примером нелинейного И. О. Если же P(t, т, u)=K(t, т) и, тогда (1) принимает вид Оператор, порождаемый интегралом (2), или просто оператор (2), наз.

Линейным И. О., а функция К- ядром И. О. Ядро Кназ. Ядром Фредгольма, если оператор (2), соответствующий ядру К, действует вполне непрерывно из заданного функционального пространства Ев нек-рое другое функциональное пространство Е 1. В этом случае сам оператор (2) наз. Интегральным оператором Фредгольма из Ев Е 1. Линейные И. О. Часто рассматриваются в функциональных пространствах. С(D)- непрерывных на ограниченном замкнутом множество Dфункций и Lp(D)- суммируемых на Dсо степенью рфункций. В этом случае оператор (2)-оператор Фредгольма в С(D)(т. Е. Из C(D)в C(D)), если Кнепрерывно на DD(такое ядро наз. Непрерывны м). Он является оператором Фродгольма в L2(D)(из L2(D)в L2(D)), если ядро Кизмеримо на DD и Такое ядро наз.

L2 -я дром. Сопряженный оператор к оператору (2) в комплексном функциональном пространстве L2(D)с ядром, удовлетворяющим условию (3), есть И. О. где черта означает переход к комплексно сопряженному значению. Если ядро Кэрмитово (симметрично) (то есть =K(t, т)), то соответствующий оператор Фредгольма (2) совпадает со своим сопряженным (4). Операторы, обладающие этим свойством, наз. Самосопряженными. Оператор Фредгольма с симметричным ядром наз. Интегральным оператором Гильберта - Шмидта. Пусть |t-t| обозначает расстояние между точками tи t n-мерного евклидова пространства, В(t,t) - ограниченная измеримая функция на DD, тогда ядро вида наз. Ядром типа потенциала, а И. О. (2) с таким ядром - И. О. Типа потенциала. Ядро (5) наз.

Также полярным ядром, или ядром со слабой особенностью, а соответствующий оператор (2) - И. О. Со слабой особенностью. Если функция B(t, т) непрерывна на DD, то И. О. Со слабой особенностью вполне непрерывен в пространстве C(D), а если B(t,t) - измеримая ограниченная функция на DD, то он вполне непрерывен в пространстве L2(D). Если ядро Ки го-мерное множество Dтаковы, что интеграл (2) не существует в смысле Лебега, но существует в смысле главного значения по Коши, то он наз. Го-м ерным сингулярным интегралом. Оператор, к-рый им порождается, наз. M-мерным сингулярным И. О., или одномерным (при т=1 )и многомерным (при m>1) сингулярным И. О. Если линия Dлежит на плоскости комплексного переменного t, то равенство где интеграл понимается в смысле главного значения по Коши, порождает непрерывный И.

О.в пространстве функций, удовлетворяющих усшовию Гёльдера, если D- простая замкнутая гладкая линия. И в пространстве Lp(D),если D- ляпуновская линия. Оператор (6) наз. Сингулярным оператором Коши. Пусть на действительной оси заданы две измеримые по Лебегу функции j и g. Если для почти всех существует интеграл то можно определить функцию которая наз. Сверткой g и j. Если зафиксировать функцию g, то интеграл (7) определяет оператор который наз. И. О. (или интегральным преобразованием) свертки с ядром g. Если то оператор (8) непрерывен из При соответствующих предположениях И. О. Свертки применяется как на полупрямой, так и на конечном отрезке. Кроме указанных выше И.