Итерационный Алгоритм

- рекурсивный алгоритм, реализующий в нек-ром топологич. Пространстве Vпоследовательность точечно-множественных отображений Ak. V->. V, при помощи к-рых по начальной точке вычисляют последовательность точек согласно формулам Операцию (1) наз. Итерацией, а последовательность uk- итерационной последовательностью. И. А. (или методы последовательных приближений) применяют как для нахождения решения операторного уравнения или минимума нек-рого функционала, или собственных значений и элементов уравнения Au=luи т. П., так и для доказательства существования решений этих задач. И. А. (1) наз. Сходящимся при начальном приближении и 0 к решению иупомянутых задач, если при Операторы Ak для решения уравнения (2), заданного в линейном метрич.

Пространстве V, обычно строят по формулам где Hk(V->V)- некоторая, определяющая тип И. А., последовательность операторов. В основе построения И. А. Типа (1), (3) лежат или сжатых отображений принцип и его обобщения, или вариационные методы минимизации нек-рого связанного с задачей функционала. При этом используются различные методы построения операторов Ak, напр, варианты Ньютона метода, или спуска метода. Операторы Н k стараются выбрать так, чтобы быстрая сходимость uk к иобеспечивалась при условии, что численная реализация операции Akuk при заданном объеме памяти ЭВМ была достаточно проста, нетрудоемка по количеству операций и "устойчива к ошибкам округления. Хорошо разработаны и исследованы И. А. Решения линейных задач.

И. А. Делятся при этом на линейные и нелинейные. К линейным относятся, напр., Гаусса метод, Зейделя метод, верхней релаксации метод, И. А. С чебышевскими параметрами. К нелинейным - вариационные методы. наискорейшего спуска метод, сопряженных градиентов метод, минимизации невязок метод и т. Д. Одним из эффективных И. А. Является метод с использованием чебышевских параметров, когда А- самосопряженный оператор со спектром на отрезке [ т, М], где М>m>0. Этот метод дает оптимальную (при данной информации о границах спектра) оценку сходимости на заранее задаваемом N-м шаге. Записывается метод в виде где N-ожидаемое число итераций, в нем используется xN=(j1, j2, ..., jN)- специальная перестановка N-гo порядка, хорошо перемешивающая для устойчивости счета корни многочлена Чебышева.

Для N=2n перестановку xN можно построить, напр., так. Х 2=(1, 2), и если известна перестановка х 2i-1= (j1, j2, ..., i2i-1), то х 2i=(j1, 2i+1-j1, j2, 2i+1-j2, ...). При N=16 эта перестановка имеет вид. (1, 16, 8, 9, 4, 13, 5, 12, 2, 15, 7, 10, 3, 14, 6, 11). Существуют И. А., использующие rпредыдущих приближений и k, uk-1, ..., uk-r+1;они наз. R-шаговыми и обладают повышенной скоростью сходимости. И. А. Широко применяются при решении многомерных задач математич. Физики, для нек-рых классов таких задач существуют специальные быстросходящиеся И. А. Напр., переменных направлений метод, метод, изложенный в [7] для эллиптических краевых задач, нек-рые методы для задач переноса частиц или излучений (см. [1] - [7]). Лит.:[1] Канторович Л.

В., Авилов Г. П., Функциональный анализ, 2 изд., М., 1977. [2] Коллатц Л., Функциональный анализ и вычислительная математика, пер. С нем., М., 1969. [3] Марчук Г. И., Лебедев В. И., Численные методы в теории переноса нейтронов, М., 1971. [4] Бахвалов Н. С, Численные методы, 2 изд., М., 1975. [5] Красносельский М. А. И др., Приближенное решение операторных уравнений, М., 1969. [6] Лебедев В. И., в кн. Тр. Института кибернетики АН УССР, К., 1972, с. 109- 135. [7] Федоренко Р. П., "Успехи матем. Наук", 1973, т. 28, в. 2, с. 121 - 82. В. И. Лебедев..