Локально Конечное Покрытие

покрытиетопологич. Пространства его подмножествами такое, что у каждой точки есть окрестность, пересекающаяся лишь с конечным числом элементов этого покрытия. Не из всякого открытого покрытия прямой можно выделить Л. К. П. Достаточно рассмотреть монотонную последовательность интервалов неограниченно растущих по длине. Оказывается, возможность выделить из любого открытого покрытия пространства Л. К. П. Равносильна его бикомпактности. Существенно новое содержание несет идея локальной конечности в соединении с понятием вписанности. Теорема Стоуна утверждает, что в любое открытое покрытие произвольного метрич. Пространства можно вписать Л. К. П. Хаусдорфовы пространства, обладающие последним свойством, наз. Паракомпактами. Л. К. П. Важны не только своим участием в определении паракомпактности.

Требование локальной конечности играет существенную роль в конструкциях, принадлежащих теории размерности, в формулировках и доказательствах разного рода аддиционных теорем. Существование в регулярном пространстве базы, распадающейся в объединение счетного семейства локально конечных открытых покрытий, равносильно метризуемости этого пространства. Открытые Л. К. П. Нормальных пространств служат построению разбиения единицы на этом пространстве, подчиненного этому покрытию. С помощью разбиений единицы строятся, в частности, стандартные отображения многообразий в евклидовы пространства. Требование локальной конечности покрытия не обязательно соединять с предположением о его открытости. Локальная конечность покрытия пространства автоматически влечет, что в этом покрытии "достаточно много" множеств, близких по свойствам к открытым.

Если в любое открытое покрытие регулярного пространства можно вписать какое-нибудь Л. К. П., то пространство паракомпактно. Рассматриваются также локально конечные семейства множеств в пространстве, определяемые аналогично, но не обязанные покрывать пространство. Специальный их случай представляют дискретные семейства множеств - такие семейства множеств, что у каждой точки всего пространства есть окрестность, пересекающая не более одного элемента этого семейства. Дискретные семейства важны в связи с изучением отделимости в пространстве. Так, выделяются коллективно нормальные пространства требованием. Любое дискретное семейство множеств отделяется дискретным семейством окрестностей. С последним условием прямо связана задача комбинаторного продолжения локально конечных семейств множеств до локально конечных семейств открытых множеств.

Лит.:[1] Engeiking R-, General Topology, Warsz., 1977. [2] Архангельский А. В., Пономарев В. И., Основы общей топологии в задачах и упражнениях, М., 1974. [3] Александров П. С., "С. Г. Acad. Sci.", 1924, t. 178. P. 185-87. [4] Stone A. H., "Bull. Amer. Math. Soc.", 1948. V. 54, p. 977-82. [5] M i h a e i E., "Proc. Amer. Math. Soc.", 1953, v. 4, № 5, p. 831 - 38. А. В. Архангельский. .