Локально Конечная Полугруппа

полугруппа, в к-рой каждая конечно порожденная подполугруппа конечна. Всякая Л. К. П. Будет периодической полугруппой. Обратное неверно. Существуют даже периодич. Группы, не являющиеся локально конечными (см. Бёрнсайда проблема). Задолго до решения проблемы Бёрнсайда для групп были построены примеры периодических, но не локально конечных полугрупп в классах полугрупп, далеких от групп, прежде всего - в классе нилъполугрупп;таковы, напр., свободная полугруппа с двумя образующими в многообразии, заданном тождеством x3=0, и свободная полугруппа с тремя образующими в многообразии, заданном тождеством х 2=0. Вместе с тем для ряда классов полугрупп условия периодичности и локальной конечности равносильны. Тривиальный пример доставляют коммутативные полугруппы.

Связка Л. К. П. (см. Связка полугрупп).сама будет Л. К. П. [1], более того, полугруппа, обладающая разбиением на локально конечные группы, будет Л. К. П., в частности всякая идемпотентов полугруппа будет Л. К. Н. [7]. Если n таково, что всякая группа с тождеством x п=1. Локально конечна, то всякая полугруппа с тождеством х п+1=х локально конечна [6]. Полугруппа, обладающая разбиением на Л. К. П., может не быть Л. К. П. [3], но если - такая конгруэнция на полугруппе S, что факторполугруппа есть Л. К. П. И каждый -класс, являющийся подполугруппой, есть Л. К. П., то и Sбудет Л. К. П. (см. [4], [5]). В частности, идеальное расширение Л. К. П. При помощи Л. К. П. Само будет Л. К. П. Если S- периодич. Полугруппа матриц над телом и все подгруппы из Sлокально конечны, то Sлокально конечна [8], откуда вытекает, что всякая периодич.

Полугруппа матриц над произвольным полем будет Л. К. П. Лит.:[1] Ш е в р и н Л. Н., "Докл. АН СССР", 1965, т. 162, № 4, с. 770-73. [2] Ш н е п е р м а н Л. Б., "Изв. АН БССР. Сер. Физ.-матем. Наук", 1976, № 4, с. 22-28. [3] Б р а у н Т. К., "Укр. Матем. Ж.", 1968, т. 20, № 6, с. 732-38. [4] Brown Т. С., "Pacif. J. Math.", 1967, v. 22, № 1, p. 11 - 14. [5] его же, там же, 1971, v. 36, № 2, р. 285-89. [6] Green J. A., Rees D., "Proc. Cambridge Phil. Soc.", 1952, v. 48, pt 1, p. 35-40. [7] М с L e a n D., "Amer. Math. Monthly", 1954, v. 61, № 2, p. 110 - 13. [8] М с N a u g h t о n R., Z a l с s t e i n Y., "J. Algebra", 1975, v. 34, № 2, p. 292-99. Л. Н. Шеврин. .