Мера

в топологическом векторном пространстве - термин, употребляемый применительно к мере, заданной в топологическом векторном пространстве, когда хотят подчеркнуть те свойства этой меры, к-рые связаны с линейной и топологич. Структурой этого пространства. Общей проблемой при построении М. В топологич. Векторном пространстве является задача продолжения предмеры до М. Пусть Е- (действительное или комплексное) локально выпуклое пространство,- алгебра его цилиндрических множеств и на алгебре определена, пред-мера. Задача состоит в продолжении этой предмеры до счетно аддитивной М., определенной на s-алгебре - наименьшей s-алгебре, содержащей алгебру . - самая узкая из всех s-алгебр (слабоборелевской, борелевской и т.

Д.), естественно связанных с топологией Е;для большого класса пространств Еэти s-алгебры совпадают. В частном, но наиболее важном случае, когда пространство , т. Е. Является сопряженным к нек-рому локально выпуклому пространству V, рассматриваемому в слабой "-топологии (так что ), для продолжимости предмеры в до М. Достаточно, чтобы ее характеристич. Функционал (преобразование Фурье) был непрерывен в т. Н. Топологии Сазонова в пространстве V(т. Е. Топологии, порожденной всеми непрерывными гильбертовыми полунормами в V), и в ряде случаев, напр, когда V- Фреше пространство, необходимо, чтобы характеристич. Функционал был непрерывен в исходной топологии V. Так, когда V- ядерное пространство, топология Сазонова совпадает с исходной топологией, и любая предмера на Vс непрерывным характеристич.

Функционалом продолжается до М. В случае, когда предмера определена в гильбертовом пространство Н, сформулированное выше достаточное условие ее продолжимости до М. Является и необходимым. Кроме этого общего критерия продолжимости предмеры до М. Существуют частные результаты такого рода, приложимые к тому или иному классу М. (или классу пространств). Напр., гауссова предмера на V, где V- локально выпуклое пространство (т. Е. Предмера, сужение к-рой на любую s-алгебру является гауссовым распределением с корреляционным функционалом продолжается до М., если существует выпуклая окрестность нуля в V, -энтропия к-рой в метрике, порожденной скалярным произведением меньше двух. Для слабой сходимости последовательности (вероятностных) М.

В сопряженном пространстве Vдостаточны поточечная сходимость характеристич. Функционалов этих М. (она же и необходима) и равностепенная непрерывность их в нуле относительно топологии Сазонова в V, а необходима равностепенная непрерывность этих функционалов относительно исходной топологии V. В случае, когда V- гильбертово пространство, известны необходимые и достаточные условия слабой компактности семейства М. В V, также выражающиеся в терминах их характеристич. Функционалов. Вопрос о квазиинвариантности М. В топологическом векторном пространстве (см. Квазиинвариантная мера )относительно нек-рой совокупности сдвигов (множества квазиинвариантности) этого пространства (известно, что для ряда бесконечномерных векторных пространств множество квазиинвариантности ненулевой М.

Не может совпадать со всем пространством), а также вопрос о критериях абсолютной непрерывности одной М. Относительно другой исследованы лишь (1982) для гауссовых М. Изучение М. В топологических векторных пространствах связано главным образом с интегралами по траекториям, а также с теорией обобщенных случайных полей и в значительной степени стимулируется приложениями этих теорий к физике и механике. Лит.:[1] Данфорд Н., Шварц Дж., Линейные операторы. Общая теория, пер. С англ., М., 1962. [2] Бурбаки Н., Интегрирование. Меры на локально компактных пространствах. Продолжение меры. Интегрирование мер. Меры на отделимых пространствах, пер. С франц., М., 1977. [3] Гихман И. И., Скороход А. В., Теория случайных процессов, т. 1, М., 1971.

[4] Гельфанд И. М., Виленкин Н. Я., Некоторые применения гармонического анализа. Оснащенные гильбертовы пространства, М., 1961. [5] Судаков В. Н., "Тр. Матем. Ин-та АН СССР", 1976, т. 141. [6] Смолянов О. Г., Фомин С. В., "Успехи матем. Наук", 1976, т. 31, в. 4, с. 3 - 56. Р. А. Минлос..